Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo từng bước như sau:

### a) Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức ban đầu là:
\[ A = \frac{x^2 + 2x}{2x + 10} + \frac{x - 5}{x} + \frac{50 - 5x}{2x(x + 5)} \]

1. Rút gọn từng phân số:
- \(\frac{x^2 + 2x}{2x + 10}\):
\[ \frac{x^2 + 2x}{2x + 10} = \frac{x(x + 2)}{2(x + 5)} \]

- \(\frac{x - 5}{x}\):
\[ \frac{x - 5}{x} = 1 - \frac{5}{x} \]

- \(\frac{50 - 5x}{2x(x + 5)}\):
\[ \frac{50 - 5x}{2x(x + 5)} = \frac{5(10 - x)}{2x(x + 5)} = \frac{5(10 - x)}{2x(x + 5)} \]

2. Kết hợp lại:
\[ A = \frac{x(x + 2)}{2(x + 5)} + 1 - \frac{5}{x} + \frac{5(10 - x)}{2x(x + 5)} \]

3. Tìm mẫu số chung và kết hợp các phân số:
- Mẫu số chung là \(2x(x + 5)\).

\[ A = \frac{x(x + 2) \cdot x + 2(x + 5) \cdot x - 5 \cdot 2(x + 5) + 5(10 - x)}{2x(x + 5)} \]

### b) Tính \( A \) khi \( x = -2 \) và \( x = -5 \)

1. Khi \( x = -2 \):
\[ A = \frac{(-2)^2 + 2(-2)}{2(-2) + 10} + \frac{-2 - 5}{-2} + \frac{50 - 5(-2)}{2(-2)(-2 + 5)} \]
\[ A = \frac{4 - 4}{-4 + 10} + \frac{-7}{-2} + \frac{50 + 10}{2(-2)(3)} \]
\[ A = \frac{0}{6} + \frac{7}{2} + \frac{60}{-12} \]
\[ A = 0 + 3.5 - 5 \]
\[ A = -1.5 \]

2. Khi \( x = -5 \):
\[ A = \frac{(-5)^2 + 2(-5)}{2(-5) + 10} + \frac{-5 - 5}{-5} + \frac{50 - 5(-5)}{2(-5)(-5 + 5)} \]
\[ A = \frac{25 - 10}{-10 + 10} + \frac{-10}{-5} + \frac{50 + 25}{2(-5)(0)} \]
\[ A = \frac{15}{0} + 2 + \frac{75}{0} \]
\[ A = \text{undefined} \]

### c) Tìm giá trị \( x \) để \( A = 1 \) và \( A = -3 \)

1. Để \( A = 1 \):
\[ \frac{x(x + 2)}{2(x + 5)} + 1 - \frac{5}{x} + \frac{5(10 - x)}{2x(x + 5)} = 1 \]

2. Để \( A = -3 \):
\[ \frac{x(x + 2)}{2(x + 5)} + 1 - \frac{5}{x} + \frac{5(10 - x)}{2x(x + 5)} = -3 \]

### d) Tìm giá trị \( x \) để \( \frac{A}{x} > 0 \)

\[ \frac{A}{x} = \frac{\frac{x(x + 2)}{2(x + 5)} + 1 - \frac{5}{x} + \frac{5(10 - x)}{2x(x + 5)}}{x} > 0 \]

Để giải các phương trình này, bạn cần giải các phương trình bậc nhất và bậc hai tương ứng.