Để chứng minh điểm \( C \) là trọng tâm của tam giác \( ADE \), ta cần chứng minh rằng \( C \) là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác \( ADE \).

1. **Xác định các điểm và tính chất:**
- Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), đường cao \( AH \) (vì \( AH \) là đường cao nên \( H \) là trung điểm của \( BC \)).
- Điểm \( D \) nằm trên tia đối của tia \( HA \) sao cho \( HD = HA \).
- Điểm \( E \) nằm trên tia đối của tia \( CB \) sao cho \( CE = CB \).

2. **Chứng minh \( C \) là trung điểm của \( DE \):**
- Vì \( H \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BH = HC \).
- Do \( HD = HA \) và \( H \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( D \) đối xứng với \( A \) qua \( H \).
- Tương tự, \( E \) đối xứng với \( B \) qua \( C \), vì \( CE = CB \).

3. **Xét tam giác \( ADE \):**
- \( C \) là trung điểm của \( DE \) vì \( D \) đối xứng với \( A \) qua \( H \) và \( E \) đối xứng với \( B \) qua \( C \).

4. **Chứng minh \( C \) là giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác \( ADE \):**
- Trong tam giác \( ADE \), \( C \) là trung điểm của \( DE \).
- Đường trung tuyến từ \( A \) đến \( DE \) đi qua \( C \).
- Đường trung tuyến từ \( D \) đến \( AE \) và từ \( E \) đến \( AD \) cũng phải đi qua \( C \) vì \( C \) là trung điểm của \( DE \).

Vì \( C \) là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác \( ADE \), nên \( C \) là trọng tâm của tam giác \( ADE \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( C \) là trọng tâm của tam giác \( ADE \).