Để giải phương trình \( \frac{x-3}{x-1} = \frac{x-4}{x^2 - 4x} + \frac{x+1}{x} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Phân tích các mẫu số**:
- \( x^2 - 4x = x(x - 4) \)

2. **Tìm mẫu số chung**:
- Mẫu số chung của các phân thức là \( x(x - 1)(x - 4) \).

3. **Quy đồng mẫu số**:
- Quy đồng mẫu số của từng phân thức về mẫu số chung \( x(x - 1)(x - 4) \).

\[
\frac{x-3}{x-1} = \frac{(x-3)x(x-4)}{x(x-1)(x-4)}
\]

\[
\frac{x-4}{x^2 - 4x} = \frac{x-4}{x(x-4)} = \frac{(x-4)(x-1)}{x(x-1)(x-4)}
\]

\[
\frac{x+1}{x} = \frac{(x+1)(x-1)(x-4)}{x(x-1)(x-4)}
\]

4. **Viết lại phương trình với mẫu số chung**:

\[
\frac{(x-3)x(x-4)}{x(x-1)(x-4)} = \frac{(x-4)(x-1)}{x(x-1)(x-4)} + \frac{(x+1)(x-1)(x-4)}{x(x-1)(x-4)}
\]

5. **Bỏ mẫu số chung**:
- Vì mẫu số chung là giống nhau, ta chỉ cần so sánh tử số:

\[
(x-3)x(x-4) = (x-4)(x-1) + (x+1)(x-1)(x-4)
\]

6. **Mở rộng và đơn giản hóa các biểu thức**:
- Mở rộng các biểu thức ở hai vế:

\[
x(x-3)(x-4) = x^3 - 7x^2 + 12x
\]

\[
(x-4)(x-1) = x^2 - 5x + 4
\]

\[
(x+1)(x-1)(x-4) = (x^2 - 1)(x-4) = x^3 - 4x^2 - x + 4
\]

- Cộng các biểu thức ở vế phải:

\[
x^2 - 5x + 4 + x^3 - 4x^2 - x + 4 = x^3 - 3x^2 - 6x + 8
\]

7. **So sánh hai vế của phương trình**:

\[
x^3 - 7x^2 + 12x = x^3 - 3x^2 - 6x + 8
\]

- Trừ \( x^3 \) ở cả hai vế:

\[
-7x^2 + 12x = -3x^2 - 6x + 8
\]

- Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:

\[
-7x^2 + 12x + 3x^2 + 6x - 8 = 0
\]

- Kết hợp các hạng tử giống nhau:

\[
-4x^2 + 18x - 8 = 0
\]

8. **Giải phương trình bậc hai**:
- Chia cả hai vế cho -2 để đơn giản hóa:

\[
2x^2 - 9x + 4 = 0
\]

- Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

- Với \( a = 2 \), \( b = -9 \), \( c = 4 \):

\[
x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{4} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{9 \pm 7}{4}
\]

- Tìm hai nghiệm:

\[
x_1 = \frac{9 + 7}{4} = 4, \quad x_2 = \frac{9 - 7}{4} = \frac{1}{2}
\]

9. **Kiểm tra nghiệm**:
- Kiểm tra xem các nghiệm có làm cho mẫu số bằng 0 hay không:

- Với \( x = 4 \), mẫu số \( x - 4 = 0 \) nên \( x = 4 \) không phải là nghiệm hợp lệ.
- Với \( x = \frac{1}{2} \), không làm mẫu số bằng 0.

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là \( x = \frac{1}{2} \).