Để giải quyết các câu hỏi này, chúng ta cần sử dụng một số tính chất của tam giác và phân giác.

### 1) Tam giác BDI và tam giác CEI là tam giác gì?

Do \( I \) là giao điểm của các phân giác trong tam giác \( ABC \), nên \( I \) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \). Khi kẻ đường thẳng song song với \( BC \) từ \( I \), đường thẳng này sẽ cắt \( AB \) tại \( D \) và \( AC \) tại \( E \).

Vì \( ID \parallel BC \) và \( IE \parallel BC \), nên \( \angle BDI = \angle IBC \) và \( \angle CEI = \angle ICB \).

Do \( I \) là điểm chung của hai tam giác \( BDI \) và \( CEI \), và các góc tương ứng bằng nhau, ta có thể kết luận rằng:

- Tam giác \( BDI \) và tam giác \( CEI \) là tam giác đồng dạng với tam giác \( IBC \).

### 2) Chứng minh \( BD + CE = DE \)

Để chứng minh điều này, ta sử dụng tính chất của các đường song song và các đoạn thẳng trong tam giác.

Vì \( ID \parallel BC \) và \( IE \parallel BC \), nên \( D \) và \( E \) là các điểm chia đoạn \( AB \) và \( AC \) theo cùng một tỉ lệ. Cụ thể, ta có:

\[ \frac{BD}{AB} = \frac{IE}{BC} \quad \text{và} \quad \frac{CE}{AC} = \frac{ID}{BC} \]

Do \( ID = IE \) (vì \( ID \parallel BC \) và \( IE \parallel BC \)), ta có:

\[ \frac{BD}{AB} = \frac{CE}{AC} \]

Từ đó, ta có thể suy ra:

\[ BD = \frac{AB}{AB + AC} \cdot DE \quad \text{và} \quad CE = \frac{AC}{AB + AC} \cdot DE \]

Khi cộng hai phương trình này lại, ta có:

\[ BD + CE = \left( \frac{AB}{AB + AC} + \frac{AC}{AB + AC} \right) \cdot DE \]

\[ BD + CE = \frac{AB + AC}{AB + AC} \cdot DE \]

\[ BD + CE = DE \]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( BD + CE = DE \).