Tìm giá trị lớn nhất: A = -2x^2 - y^2 - 4x + 12y + 4xy + 2024

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( A = -2x^2 - y^2 - 4x + 12y + 4xy + 2024 \), ta cần tìm các điểm cực trị của hàm số này. Để làm điều đó, ta sẽ tính đạo hàm riêng phần theo \( x \) và \( y \), sau đó giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0.

1. Đạo hàm riêng phần theo \( x \):
\[ \frac{\partial A}{\partial x} = -4x + 4y - 4 \]

2. Đạo hàm riêng phần theo \( y \):
\[ \frac{\partial A}{\partial y} = -2y + 12 + 4x \]

Đặt các đạo hàm riêng phần bằng 0:
\[ -4x + 4y - 4 = 0 \]
\[ -2y + 12 + 4x = 0 \]

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình thứ nhất:
\[ -4x + 4y - 4 = 0 \]
\[ -4x + 4y = 4 \]
\[ y = x + 1 \]

Thay \( y = x + 1 \) vào phương trình thứ hai:
\[ -2(x + 1) + 12 + 4x = 0 \]
\[ -2x - 2 + 12 + 4x = 0 \]
\[ 2x + 10 = 0 \]
\[ x = -5 \]

Thay \( x = -5 \) vào \( y = x + 1 \):
\[ y = -5 + 1 = -4 \]

Vậy, điểm cực trị là \( (x, y) = (-5, -4) \).

Bây giờ, ta tính giá trị của \( A \) tại điểm cực trị này:
\[ A = -2(-5)^2 - (-4)^2 - 4(-5) + 12(-4) + 4(-5)(-4) + 2024 \]
\[ = -2(25) - 16 + 20 - 48 + 80 + 2024 \]
\[ = -50 - 16 + 20 - 48 + 80 + 2024 \]
\[ = 2010 \]

Vậy, giá trị lớn nhất của \( A \) là \( 2010 \).