Để tính giá trị biểu thức \( B = \frac{x}{y} \), ta cần giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\frac{2010}{x} + 1 = \frac{2010}{y} \\
x + 2y = 2335
\end{cases}
\]

Từ phương trình đầu tiên, ta có:

\[
\frac{2010}{x} + 1 = \frac{2010}{y} \implies \frac{2010}{x} - \frac{2010}{y} = -1 \implies 2010 \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right) = -1
\]

\[
\implies \frac{2010(y - x)}{xy} = -1 \implies 2010(y - x) = -xy \implies xy = 2010(x - y)
\]

Đặt \( k = \frac{x}{y} \), ta có \( x = ky \). Thay vào phương trình \( xy = 2010(x - y) \):

\[
ky \cdot y = 2010(ky - y) \implies ky^2 = 2010ky - 2010y \implies ky^2 = 2010y(k - 1)
\]

Chia cả hai vế cho \( y \neq 0 \):

\[
ky = 2010(k - 1) \implies ky = 2010k - 2010 \implies ky - 2010k = -2010 \implies k(y - 2010) = -2010 \implies k = \frac{-2010}{y - 2010}
\]

Thay \( x = ky \) vào phương trình thứ hai của hệ:

\[
ky + 2y = 2335 \implies y(k + 2) = 2335 \implies y = \frac{2335}{k + 2}
\]

Thay \( y = \frac{2335}{k + 2} \) vào \( k = \frac{-2010}{y - 2010} \):

\[
k = \frac{-2010}{\frac{2335}{k + 2} - 2010} \implies k = \frac{-2010(k + 2)}{2335 - 2010(k + 2)}
\]

Giải phương trình này để tìm \( k \):

\[
k = \frac{-2010k - 4020}{2335 - 2010k - 4020} \implies k = \frac{-2010k - 4020}{2335 - 4020 - 2010k} \implies k = \frac{-2010k - 4020}{-1685 - 2010k}
\]

Chia cả tử và mẫu cho \( -1 \):

\[
k = \frac{2010k + 4020}{1685 + 2010k}
\]

Giải phương trình này để tìm \( k \):

\[
k(1685 + 2010k) = 2010k + 4020 \implies 1685k + 2010k^2 = 2010k + 4020 \implies 2010k^2 + 1685k - 2010k = 4020 \implies 2010k^2 + 1685k - 2010k - 4020 = 0
\]

\[
2010k^2 - 325k - 4020 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này:

\[
k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \implies k = \frac{325 \pm \sqrt{325^2 + 4 \cdot 2010 \cdot 4020}}{2 \cdot 2010}
\]

\[
k = \frac{325 \pm \sqrt{105625 + 32241600}}{4020} \implies k = \frac{325 \pm \sqrt{32347225}}{4020} \implies k = \frac{325 \pm 5685}{4020}
\]

\[
k = \frac{325 + 5685}{4020} \implies k = \frac{6010}{4020} \implies k = 1.5
\]

\[
k = \frac{325 - 5685}{4020} \implies k = \frac{-5360}{4020} \implies k = -1.333
\]

Vì \( k = \frac{x}{y} \), ta chọn giá trị dương \( k = 1.5 \).

Vậy giá trị của biểu thức \( B = \frac{x}{y} = 1.5 \).