Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học phẳng, đặc biệt là các tính chất của tam giác vuông và các đường cao.

### Phần a: Chứng minh \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \)

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):

- \( \angle AHE = 90^\circ \) và \( \angle AHF = 90^\circ \) (do E và F là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC).
- \( \angle HAE = \angle HAF \) (cùng là góc \( \angle H \) trong tam giác \( AHE \) và \( AHF \)).

Do đó, hai tam giác \( AHE \) và \( AHF \) đồng dạng với nhau theo trường hợp góc-góc (AA).

Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[ \frac{AE}{AF} = \frac{HE}{HF} \]

Mặt khác, do \( HE \) và \( HF \) là các đoạn vuông góc từ H đến AB và AC, nên:
\[ HE = HF \]

Vậy:
\[ \frac{AE}{AF} = 1 \Rightarrow AE = AF \]

Từ đó, ta có:
\[ AE \cdot AB = AF \cdot AC \]

### Phần b: Gọi I là giao điểm của EF và BC. Chứng minh tam giác \( AEF \) đồng dạng với tam giác \( ACB \) và \( IE \cdot IF = IB \cdot IC \)

Để chứng minh tam giác \( AEF \) đồng dạng với tam giác \( ACB \), ta cần chứng minh rằng các góc tương ứng của hai tam giác này bằng nhau.

- \( \angle AEF = \angle ACB \) (do \( EF \parallel BC \) vì E và F là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC).
- \( \angle AFE = \angle ABC \) (do \( EF \parallel BC \)).
- \( \angle EAF = \angle BAC \) (góc chung).

Do đó, tam giác \( AEF \) đồng dạng với tam giác \( ACB \) theo trường hợp góc-góc-góc (AAA).

Tiếp theo, để chứng minh \( IE \cdot IF = IB \cdot IC \), ta sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng và các đoạn thẳng tương ứng:

Từ tính chất của tam giác đồng dạng \( AEF \) và \( ACB \), ta có:
\[ \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} \]

Do đó, \( \frac{IE}{IB} = \frac{IF}{IC} \).

Suy ra:
\[ IE \cdot IC = IF \cdot IB \]

### Phần c: Biết \( AH = 6 \) cm, \( AE = 5 \) cm, \( HF = 4 \) cm. Tính \( BC \)

Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( AHE \) và \( AHF \):

- Trong tam giác \( AHE \):
\[ AH^2 + HE^2 = AE^2 \]
\[ 6^2 + HE^2 = 5^2 \]
\[ 36 + HE^2 = 25 \]
\[ HE^2 = 25 - 36 = -11 \]

Điều này không hợp lý vì \( HE^2 \) không thể âm. Có lẽ có sai sót trong đề bài hoặc trong quá trình tính toán. Hãy kiểm tra lại các giá trị đã cho hoặc các bước tính toán.

Nếu các giá trị đã cho là chính xác, ta cần kiểm tra lại các bước tính toán hoặc có thể có một cách tiếp cận khác để giải quyết bài toán này.