Để tìm nghiệm nguyên của phương trình \((x+1)(x+3)(x+5)(x-6) = 0\), ta cần tìm các giá trị của \(x\) sao cho phương trình này bằng 0.

Phương trình \((x+1)(x+3)(x+5)(x-6) = 0\) sẽ bằng 0 khi một trong các nhân tử của nó bằng 0. Do đó, ta cần giải các phương trình sau:

1. \(x + 1 = 0\)
2. \(x + 3 = 0\)
3. \(x + 5 = 0\)
4. \(x - 6 = 0\)

Giải từng phương trình:

1. \(x + 1 = 0\)
\[
x = -1
\]

2. \(x + 3 = 0\)
\[
x = -3
\]

3. \(x + 5 = 0\)
\[
x = -5
\]

4. \(x - 6 = 0\)
\[
x = 6
\]

Vậy các nghiệm nguyên của phương trình \((x+1)(x+3)(x+5)(x-6) = 0\) là:
\[
x = -1, -3, -5, 6
\]