Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 1 \\
x^7 + y^7 = 1
\end{cases}
\]

Ta có thể làm như sau:

1. Từ phương trình \(x^2 + y^2 = 1\), ta biết rằng \(x\) và \(y\) nằm trên đường tròn đơn vị.

2. Ta xét các giá trị đặc biệt của \(x\) và \(y\) trên đường tròn đơn vị.

- Nếu \(x = 1\) thì \(y = 0\).
- Nếu \(x = -1\) thì \(y = 0\).
- Nếu \(x = 0\) thì \(y = 1\) hoặc \(y = -1\).

3. Kiểm tra các giá trị này trong phương trình thứ hai \(x^7 + y^7 = 1\):

- Với \(x = 1\) và \(y = 0\):
\[
1^7 + 0^7 = 1 + 0 = 1
\]
Thỏa mãn.

- Với \(x = -1\) và \(y = 0\):
\[
(-1)^7 + 0^7 = -1 + 0 = -1
\]
Không thỏa mãn.

- Với \(x = 0\) và \(y = 1\):
\[
0^7 + 1^7 = 0 + 1 = 1
\]
Thỏa mãn.

- Với \(x = 0\) và \(y = -1\):
\[
0^7 + (-1)^7 = 0 - 1 = -1
\]
Không thỏa mãn.

Vậy các nghiệm của hệ phương trình là:
\[
(x, y) = (1, 0) \text{ hoặc } (0, 1)
\]