Để tìm hai số \(a\) và \(b\) thỏa mãn hệ phương trình:

1. \(5a - 4b = -5\)
2. Đường thẳng \(ax + by = -1\) đi qua điểm \(A(-7, 4)\)

Ta làm như sau:

**Bước 1: Sử dụng điều kiện đường thẳng đi qua điểm \(A(-7, 4)\)**

Điểm \(A(-7, 4)\) nằm trên đường thẳng \(ax + by = -1\), nên ta thay tọa độ của điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng:

\[a(-7) + b(4) = -1\]

Tức là:

\[-7a + 4b = -1 \quad \text{(1)}\]

**Bước 2: Giải hệ phương trình**

Ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
5a - 4b = -5 \quad \text{(2)} \\
-7a + 4b = -1 \quad \text{(1)}
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình (1) và (2) để loại \(b\):

\[
(5a - 4b) + (-7a + 4b) = -5 + (-1)
\]

\[
5a - 7a = -6
\]

\[
-2a = -6
\]

\[
a = 3
\]

Thay \(a = 3\) vào phương trình (2):

\[
5(3) - 4b = -5
\]

\[
15 - 4b = -5
\]

\[
-4b = -5 - 15
\]

\[
-4b = -20
\]

\[
b = 5
\]

Vậy hai số cần tìm là \(a = 3\) và \(b = 5\).