Để rút gọn biểu thức lượng giác \( b = \frac{\sin 2x + 2 \sin 3x + \sin 4x}{\cos 3x + 2 \cos 4x + \cos 5x} \), ta có thể sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các công thức cộng.

Tuy nhiên, biểu thức này không có dạng đơn giản hóa rõ ràng ngay lập tức. Một cách tiếp cận là sử dụng các công thức cộng và công thức nhân đôi để biến đổi các hàm sin và cos thành các dạng khác nhau.

Dưới đây là một số bước cơ bản để thử rút gọn biểu thức này:

1. Sử dụng công thức cộng:
\[
\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
\]
\[
\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
\]

2. Sử dụng công thức nhân đôi:
\[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x
\]
\[
\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x
\]

3. Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng:
\[
\sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos(a - b) - \cos(a + b)]
\]
\[
\cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos(a - b) + \cos(a + b)]
\]
\[
\sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin(a + b) + \sin(a - b)]
\]

Tuy nhiên, do biểu thức này khá phức tạp, việc rút gọn cụ thể có thể yêu cầu nhiều bước biến đổi và kiểm tra lại. Nếu không có yêu cầu cụ thể về dạng rút gọn cuối cùng, ta có thể giữ nguyên biểu thức ban đầu.

Nếu bạn cần rút gọn cụ thể hơn, bạn có thể thử áp dụng các công thức trên vào từng phần của tử số và mẫu số để xem có thể tìm ra dạng đơn giản hơn không.