Để tìm giá trị của \(a\) và \(b\) để đường thẳng \(ax - by = 4\) đi qua hai điểm \(A(4, 3)\) và \(B(-6, -7)\), ta thay tọa độ của hai điểm này vào phương trình đường thẳng.

1. Thay tọa độ điểm \(A(4, 3)\) vào phương trình:
\[a \cdot 4 - b \cdot 3 = 4\]
\[4a - 3b = 4 \quad \text{(1)}\]

2. Thay tọa độ điểm \(B(-6, -7)\) vào phương trình:
\[a \cdot (-6) - b \cdot (-7) = 4\]
\[-6a + 7b = 4 \quad \text{(2)}\]

Giải hệ phương trình (1) và (2):

\[4a - 3b = 4 \quad \text{(1)}\]
\[-6a + 7b = 4 \quad \text{(2)}\]

Nhân phương trình (1) với 7 và phương trình (2) với 3 để loại bỏ \(b\):

\[28a - 21b = 28 \quad \text{(3)}\]
\[-18a + 21b = 12 \quad \text{(4)}\]

Cộng phương trình (3) và (4):

\[28a - 21b - 18a + 21b = 28 + 12\]
\[10a = 40\]
\[a = 4\]

Thay \(a = 4\) vào phương trình (1):

\[4 \cdot 4 - 3b = 4\]
\[16 - 3b = 4\]
\[-3b = 4 - 16\]
\[-3b = -12\]
\[b = 4\]

Vậy giá trị của \(a\) và \(b\) là \(a = 4\) và \(b = 4\).