Để giải bài toán này, chúng ta cần tính tốc độ chảy của mỗi vòi và sau đó kết hợp chúng để tìm ra thời gian cần thiết để làm đầy bể.

1. **Tính tốc độ chảy của mỗi vòi:**
- Vòi thứ nhất chảy đầy bể sau 4 giờ, do đó tốc độ chảy của vòi thứ nhất là \(\frac{1}{4}\) bể mỗi giờ.
- Vòi thứ hai chảy đầy bể sau 7 giờ, do đó tốc độ chảy của vòi thứ hai là \(\frac{1}{7}\) bể mỗi giờ.

2. **Tính tổng tốc độ chảy của cả hai vòi khi mở cùng lúc:**
- Tổng tốc độ chảy của cả hai vòi là \(\frac{1}{4} + \frac{1}{7}\).
- Để cộng hai phân số này, chúng ta cần tìm mẫu số chung. Mẫu số chung của 4 và 7 là 28.
- Do đó, \(\frac{1}{4} = \frac{7}{28}\) và \(\frac{1}{7} = \frac{4}{28}\).
- Tổng tốc độ chảy là \(\frac{7}{28} + \frac{4}{28} = \frac{11}{28}\) bể mỗi giờ.

3. **Tính lượng nước cần thêm để đầy bể:**
- Bể đang có 1/4 bể nước, nghĩa là còn 3/4 bể cần được làm đầy.

4. **Tính thời gian cần thiết để làm đầy bể:**
- Với tốc độ chảy tổng cộng là \(\frac{11}{28}\) bể mỗi giờ, thời gian cần thiết để làm đầy 3/4 bể là:
\[
\text{Thời gian} = \frac{\frac{3}{4} \text{ bể}}{\frac{11}{28} \text{ bể mỗi giờ}} = \frac{3}{4} \times \frac{28}{11} = \frac{3 \times 28}{4 \times 11} = \frac{84}{44} = \frac{21}{11} \text{ giờ}
\]

Vậy, sau \(\frac{21}{11}\) giờ, tức là khoảng 1 giờ 54 phút, bể sẽ đầy khi mở cả hai vòi cùng một lúc.