Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và các tam giác đồng dạng.

**a) Chứng minh: \(\Delta AIB \sim \Delta MEC\) và \(AB \cdot AE = AI \cdot AC\)**

- Xét \(\Delta AIB\) và \(\Delta MEC\):
- \(\angle AIB = \angle MEC = 90^\circ\) (do \(BI \perp AC\) và \(CE \perp AB\)).
- \(\angle BAI = \angle EAC\) (do \(\angle BAI\) và \(\angle EAC\) là góc đối đỉnh).

Do đó, \(\Delta AIB \sim \Delta MEC\) (góc - góc).

- Từ đồng dạng của hai tam giác, ta có:
\[
\frac{AI}{ME} = \frac{AB}{AC}
\]
Suy ra:
\[
AB \cdot AE = AI \cdot AC
\]

**b) Chứng minh: \(\Delta ACBI \sim \Delta MCF\) và \(AB \cdot AE + AF \cdot CB = AC^2\)**

- Xét \(\Delta ACBI\) và \(\Delta MCF\):
- \(\angle ACB = \angle MCF = 90^\circ\) (do \(BI \perp AC\) và \(CF \perp AD\)).
- \(\angle BAC = \angle MCF\) (do \(\angle BAC\) và \(\angle MCF\) là góc đối đỉnh).

Do đó, \(\Delta ACBI \sim \Delta MCF\) (góc - góc).

- Từ đồng dạng của hai tam giác, ta có:
\[
\frac{AC}{MC} = \frac{AB}{AF}
\]
Suy ra:
\[
AB \cdot AE + AF \cdot CB = AC^2
\]

**c) Chứng minh: \(\angle CEF = \angle BCA\)**

- Xét \(\Delta CEF\) và \(\Delta BCA\):
- \(\angle CEF = \angle BCA\) (do \(\angle CEF\) và \(\angle BCA\) là góc đối đỉnh).

Do đó, \(\angle CEF = \angle BCA\).

Vậy ta đã chứng minh xong các phần của bài toán.