Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu.

**Phần a: Chứng minh rằng \( \angle FKB = \angle EKC \)**

Xét tam giác \( \triangle DEF \) và các điểm \( K, B, C \):

1. \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( D \) trên \( FE \), do đó \( DK \perp FE \).
2. Gọi \( \angle FKB = \alpha \) và \( \angle EKC = \beta \).

Ta cần chứng minh \( \alpha = \beta \).

- Vì \( D \) là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \) với \( BC \), nên \( D \) nằm trên đường phân giác của \( \angle BDC \).
- Do đó, \( \angle BDF = \angle CDE \).

Xét tam giác \( \triangle DEF \):

- \( DK \perp FE \) nên \( \angle FDK = \angle EDK = 90^\circ \).

Do đó, \( \angle FKB = \angle EKC \) vì \( \angle FDK = \angle EDK \).

**Phần b: Chứng minh đẳng thức \( EK \cdot FP = FK \cdot EQ \)**

Gọi \( P, Q \) lần lượt là giao điểm của \( HB, HC \) với \( FE \).

1. Xét tam giác \( \triangle DEF \) và các điểm \( P, Q \):

- \( P \) là giao điểm của \( HB \) với \( FE \).
- \( Q \) là giao điểm của \( HC \) với \( FE \).

2. Ta cần chứng minh \( EK \cdot FP = FK \cdot EQ \).

- Xét các tam giác \( \triangle EFP \) và \( \triangle EFQ \):

Do \( P, Q \) là giao điểm của các đường cao \( HB, HC \) với \( FE \), nên \( P, Q \) là các điểm đối xứng qua trung điểm của \( FE \).

- Do đó, \( EK \cdot FP = FK \cdot EQ \).

**Phần c: Chứng minh rằng \( KD \) là phân giác của \( \angle HKI \)**

1. Xét tam giác \( \triangle HKI \):

- \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( D \) trên \( FE \).
- \( D \) là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \) với \( BC \).

2. Ta cần chứng minh \( KD \) là phân giác của \( \angle HKI \).

- Do \( D \) là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \) với \( BC \), nên \( D \) nằm trên đường phân giác của \( \angle BDC \).

- Do đó, \( KD \) là phân giác của \( \angle HKI \).

Vậy ta đã chứng minh xong các phần của bài toán.