Dưới đây là lời giải cho các ví dụ trong hình ảnh:

**Ví dụ 1:**
Cho đa thức \( f(x) = (2x + 1)(x^2 - x + 1) \). Kết quả của phép chia đa thức \( f(x) \) cho đa thức \( 2x + 1 \) là:
- Ta có \( f(x) = (2x + 1)(x^2 - x + 1) \).
- Khi chia \( f(x) \) cho \( 2x + 1 \), ta được thương là \( x^2 - x + 1 \).

Đáp án đúng là: **C. \( x^2 - x + 1 \)**.

**Ví dụ 2:**
Số dư của phép chia \( (6x^3 - 4x^2 + 3x + 7) : (2x^2 + 1) \) là:
- Ta thực hiện phép chia đa thức \( 6x^3 - 4x^2 + 3x + 7 \) cho \( 2x^2 + 1 \).
- Kết quả phép chia là \( 3x - 2 \) với số dư là \( 4x + 7 \).

Đáp án đúng là: **D. \( 4x + 7 \)**.

**Ví dụ 3:**
Cho đa thức \( P(x) = x^3 - 5x^2 + 4 \) và đa thức \( Q(x) = x^2 - x + 2 \). Biết đa thức \( H(x) \cdot Q(x) = P(x) \). Khi đó \( H(1) = ? \):
- Ta có \( H(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \).
- Thay \( x = 1 \) vào \( H(x) \), ta được \( H(1) = 2 \).

Đáp án đúng là: **C. 2**.

**Ví dụ 4:**
Giá trị của \( a \) để \( A(x) = x^3 - 3x + a \) chia hết cho \( B(x) = x^2 - 2x + 1 \) là:
- Đa thức \( B(x) = (x - 1)^2 \).
- Để \( A(x) \) chia hết cho \( B(x) \), \( A(1) = 0 \).
- Thay \( x = 1 \) vào \( A(x) \), ta có \( 1 - 3 + a = 0 \) => \( a = 2 \).

Đáp án đúng là: **A. a = 2**.

**Ví dụ 5:**
Một khối hộp chữ nhật có thể tích là \( x^3 + 2x^2 - x - 2 \) (cm³). Biết đáy hộp là một hình chữ nhật có các kích thước lần lượt là \( x + 2 \) (cm) và \( x - 1 \) (cm), tính chiều cao của khối hình hộp chữ nhật:
- Thể tích của khối hộp chữ nhật là \( V = (x + 2)(x - 1)h \).
- Ta có \( (x + 2)(x - 1) = x^2 + x - 2 \).
- Vậy \( h = \frac{x^3 + 2x^2 - x - 2}{x^2 + x - 2} = x + 1 \).

Chiều cao của khối hộp chữ nhật là \( x + 1 \).

**Ví dụ 6:**
Giá bán năm ngoái của mỗi sản phẩm của một công ty là \( x \) (nghìn đồng). Năm nay do giá nguyên vật liệu tăng cao nên công ty quyết định tăng giá gấp đôi. Vào dịp nghỉ lễ công ty quyết định giảm giá 10 nghìn đồng cho mỗi sản phẩm để kích cầu. Kết thúc chương trình khuyến mại, công ty ghi nhận doanh thu là \( 4x^2 - x - 60 \) (nghìn đồng). Tính số sản phẩm mà công ty đó bán được theo \( x \):
- Giá bán hiện tại của mỗi sản phẩm là \( 2x - 10 \).
- Số sản phẩm bán được là \( \frac{4x^2 - x - 60}{2x - 10} \).

**Ví dụ 7:**
Tìm các số \( a \) và \( b \) sao cho \( x^4 + ax^3 + bx = 1 \) chia hết cho \( x - 1 \):
- Để \( x^4 + ax^3 + bx \) chia hết cho \( x - 1 \), ta có \( P(1) = 0 \).
- Thay \( x = 1 \) vào \( P(x) \), ta có \( 1 + a + b = 1 \) => \( a + b = 0 \).

Vậy \( a = -b \).