Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và trung điểm của đoạn thẳng.

a) Chứng minh MABQ và ANPB là các hình bình hành:

1. Hình bình hành MABQ:
- A là trung điểm của MN nên \( MA = AN \).
- B là trung điểm của PQ nên \( PB = BQ \).
- Trong hình bình hành MNQP, ta có \( MN \parallel PQ \) và \( MN = PQ \).
- Vì A và B là trung điểm của MN và PQ nên \( MA \parallel BQ \) và \( MA = BQ \).
- Tương tự, \( AN \parallel PB \) và \( AN = PB \).
- Do đó, tứ giác MABQ có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên MABQ là hình bình hành.

2. Hình bình hành ANPB:
- A là trung điểm của MN nên \( MA = AN \).
- B là trung điểm của PQ nên \( PB = BQ \).
- Trong hình bình hành MNQP, ta có \( MN \parallel PQ \) và \( MN = PQ \).
- Vì A và B là trung điểm của MN và PQ nên \( AN \parallel PB \) và \( AN = PB \).
- Tương tự, \( MA \parallel BQ \) và \( MA = BQ \).
- Do đó, tứ giác ANPB có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên ANPB là hình bình hành.

b) Chứng minh AB = QN:
- A là trung điểm của MN nên \( MA = AN \).
- B là trung điểm của PQ nên \( PB = BQ \).
- Trong hình bình hành MNQP, ta có \( MN = PQ \).
- Vì A và B là trung điểm của MN và PQ nên \( AB \) là đoạn nối trung điểm của hai cạnh đối của hình bình hành.
- Do đó, \( AB \) song song và bằng nửa \( MN \) (hoặc \( PQ \)).
- Vì \( MN = PQ \), nên \( AB = \frac{1}{2} MN = \frac{1}{2} PQ \).
- Tương tự, \( QN = \frac{1}{2} PQ \).
- Do đó, \( AB = QN \).

Vậy ta đã chứng minh được:
a) MABQ và ANPB là các hình bình hành.
b) AB = QN.