Để chứng minh rằng \(\frac{a^2 + a + 1}{a^2 - a + 1} > 0\) với mọi \(a \in \mathbb{R}\), ta cần xem xét dấu của tử số và mẫu số của phân số này.

1. **Xét tử số \(a^2 + a + 1\):**

Biểu thức này là một tam thức bậc hai. Để xác định dấu của nó, ta xét nghiệm của phương trình \(a^2 + a + 1 = 0\).

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi biệt thức \(\Delta\) của nó không âm:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3
\]
Vì \(\Delta < 0\), phương trình \(a^2 + a + 1 = 0\) không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là \(a^2 + a + 1\) luôn dương với mọi \(a \in \mathbb{R}\).

2. **Xét mẫu số \(a^2 - a + 1\):**

Tương tự, ta xét nghiệm của phương trình \(a^2 - a + 1 = 0\).

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi biệt thức \(\Delta\) của nó không âm:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3
\]
Vì \(\Delta < 0\), phương trình \(a^2 - a + 1 = 0\) không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là \(a^2 - a + 1\) luôn dương với mọi \(a \in \mathbb{R}\).

3. **Kết luận:**

Vì cả tử số \(a^2 + a + 1\) và mẫu số \(a^2 - a + 1\) đều luôn dương với mọi \(a \in \mathbb{R}\), nên phân số \(\frac{a^2 + a + 1}{a^2 - a + 1}\) luôn dương với mọi \(a \in \mathbb{R}\).

Do đó, ta có:
\[
\frac{a^2 + a + 1}{a^2 - a + 1} > 0 \quad \forall a \in \mathbb{R}
\]