Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng bước như sau:

### Phần a:
1. **Tính độ dài cạnh BC:**

Tam giác ABC vuông tại A, do đó ta có thể sử dụng định lý Pythagore:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Với \( AB = 6 \) cm và \( AC = 8 \) cm:
\[
BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
\]
\[
BC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài đường cao AH:**

Đường cao AH trong tam giác vuông ABC có thể tính bằng công thức:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
Thay các giá trị đã biết vào:
\[
AH = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

3. **Tính góc B:**

Sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông, ta có:
\[
\tan(\angle B) = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}
\]
Từ đó, ta tính được góc B:
\[
\angle B = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)
\]
Sử dụng máy tính để tính toán:
\[
\angle B \approx 53.13^\circ
\]
Làm tròn đến phút:
\[
\angle B \approx 53^\circ 8'
\]

### Phần b:
1. **Chứng minh \( BH \cdot BC = BK \cdot BD \):**

Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là AHB và AHC. Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
AH^2 = BH \cdot HC
\]
Với \( BH \cdot HC = AH^2 \).

Khi vẽ AK vuông góc với BD tại K, ta có các tam giác vuông AKB và AKD. Do đó, ta có thể sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng để chứng minh:
\[
\frac{BK}{BH} = \frac{AK}{AH}
\]
\[
\frac{BK}{BH} = \frac{AK}{AH} \implies BK \cdot AH = BH \cdot AK
\]
Từ đó suy ra:
\[
BH \cdot BC = BK \cdot BD
\]

### Phần c:
1. **Chứng minh \( \angle ACB = \angle BKH \):**

Xét tam giác vuông ACB, ta có:
\[
\angle ACB = 90^\circ - \angle BAC
\]
Trong tam giác vuông AKB, ta có:
\[
\angle BKH = 90^\circ - \angle BAK
\]
Do \( AK \) vuông góc với \( BD \) tại K, nên:
\[
\angle BKH = \angle ACB
\]

Như vậy, ta đã hoàn thành các phần của bài toán.