Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lập hệ phương trình dựa trên các điều kiện đã cho.

Gọi \( x \) là số thứ nhất và \( y \) là số thứ hai.

Theo đề bài, ta có hai điều kiện sau:
1. Tổng của hai số bằng 51:
\[ x + y = 51 \]

2. \( \frac{2}{5} \) số thứ nhất bằng \( \frac{1}{y} \):
\[ \frac{2}{5} x = \frac{1}{y} \]

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình này.

Từ phương trình thứ hai, ta nhân cả hai vế với \( 5y \) để loại bỏ mẫu số:
\[ 2x = \frac{5}{y} \cdot y \]
\[ 2x = 5 \]

Chúng ta thấy rằng có sự nhầm lẫn trong việc nhân mẫu số. Để sửa lại, ta sẽ nhân cả hai vế với \( 5y \):
\[ 5y \cdot \frac{2}{5} x = 5y \cdot \frac{1}{y} \]
\[ 2xy = 5 \]

Bây giờ chúng ta có hệ phương trình:
1. \( x + y = 51 \)
2. \( 2xy = 5 \)

Từ phương trình thứ nhất, ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):
\[ y = 51 - x \]

Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:
\[ 2x(51 - x) = 5 \]
\[ 102x - 2x^2 = 5 \]
\[ 2x^2 - 102x + 5 = 0 \]

Đây là một phương trình bậc hai. Chúng ta sẽ giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Với \( a = 2 \), \( b = -102 \), và \( c = 5 \):
\[ x = \frac{102 \pm \sqrt{102^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{102 \pm \sqrt{10404 - 40}}{4} \]
\[ x = \frac{102 \pm \sqrt{10364}}{4} \]
\[ x = \frac{102 \pm 101.8}{4} \]

Chúng ta có hai nghiệm:
\[ x_1 = \frac{102 + 101.8}{4} = \frac{203.8}{4} = 50.95 \]
\[ x_2 = \frac{102 - 101.8}{4} = \frac{0.2}{4} = 0.05 \]

Vậy, hai số cần tìm là:
- Nếu \( x = 50.95 \), thì \( y = 51 - 50.95 = 0.05 \)
- Nếu \( x = 0.05 \), thì \( y = 51 - 0.05 = 50.95 \)

Do đó, hai số đó là \( 50.95 \) và \( 0.05 \).