Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông, đường trung tuyến và các tam giác đồng dạng.

**a) Chứng minh ΔABP ~ ΔCAQ**

Xét tam giác vuông ABC với đường cao AH. Gọi P là trung điểm của BH và Q là trung điểm của AH.

- Vì P là trung điểm của BH, ta có \(BP = PH\).
- Vì Q là trung điểm của AH, ta có \(AQ = QH\).

Xét hai tam giác ABP và CAQ:

- Trong tam giác ABP, ta có \(\angle BAP = \angle BAC\) (vì \(\angle BAC\) là góc chung).
- Trong tam giác CAQ, ta có \(\angle CAQ = \angle BAC\) (vì \(\angle BAC\) là góc chung).

Do đó, \(\angle BAP = \angle CAQ\).

- Xét hai tam giác ABP và CAQ, ta có:
- \(\angle ABP = \angle CAQ\) (vì \(\angle ABP\) và \(\angle CAQ\) là góc đối đỉnh).

Vậy, hai tam giác ABP và CAQ có hai góc tương ứng bằng nhau, nên chúng đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

Do đó, \(\Delta ABP \sim \Delta CAQ\).

**b) Chứng minh ΔHCQ ~ ΔHAP**

Xét tam giác vuông ABC với đường cao AH. Gọi P là trung điểm của BH và Q là trung điểm của AH.

- Vì Q là trung điểm của AH, ta có \(AQ = QH\).

Xét hai tam giác HCQ và HAP:

- Trong tam giác HCQ, ta có \(\angle HQC = \angle HAC\) (vì \(\angle HAC\) là góc chung).
- Trong tam giác HAP, ta có \(\angle HAP = \angle HAC\) (vì \(\angle HAC\) là góc chung).

Do đó, \(\angle HQC = \angle HAP\).

- Xét hai tam giác HCQ và HAP, ta có:
- \(\angle HCQ = \angle HAP\) (vì \(\angle HCQ\) và \(\angle HAP\) là góc đối đỉnh).

Vậy, hai tam giác HCQ và HAP có hai góc tương ứng bằng nhau, nên chúng đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

Do đó, \(\Delta HCQ \sim \Delta HAP\).

**c) Chứng minh AP vuông góc với CQ**

Xét tam giác vuông ABC với đường cao AH. Gọi P là trung điểm của BH và Q là trung điểm của AH.

- Vì P là trung điểm của BH, ta có \(BP = PH\).
- Vì Q là trung điểm của AH, ta có \(AQ = QH\).

Xét hai tam giác ABP và CAQ đã chứng minh đồng dạng ở phần a):

- Từ \(\Delta ABP \sim \Delta CAQ\), ta có:
- \(\frac{AB}{CA} = \frac{BP}{AQ}\).

Do đó, \(\frac{AB}{CA} = \frac{BP}{QH}\).

- Vì \(BP = PH\) và \(AQ = QH\), ta có:
- \(\frac{AB}{CA} = \frac{PH}{QH}\).

Do đó, \(\frac{AB}{CA} = \frac{PH}{QH}\).

- Xét tam giác vuông ABP và CAQ, ta có:
- \(\angle BAP = \angle CAQ\).

Do đó, AP vuông góc với CQ.

Vậy, AP vuông góc với CQ.