Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) và giá trị lớn nhất (GTLN) của các biểu thức, chúng ta cần phân tích các hàm số tương ứng.

1. Biểu thức \( A = x^2 + x + 1 \):
- Đây là một hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = 1 \), \( b = 1 \), và \( c = 1 \).
- Đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) nằm tại \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2} \).
- Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( A(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4} \).
- Vì hệ số \( a > 0 \), hàm số không có giá trị lớn nhất (GTLN) khi \( x \to \infty \).

2. Biểu thức \( B = 4x^2 + 4x - 3 \):
- Đây cũng là một hàm bậc hai với \( a = 4 \), \( b = 4 \), và \( c = -3 \).
- Đỉnh của parabol nằm tại \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{2} \).
- Giá trị nhỏ nhất của \( B \) là \( B(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2})^2 + 4(-\frac{1}{2}) - 3 = 4 \cdot \frac{1}{4} - 2 - 3 = -4 \).
- Vì hệ số \( a > 0 \), hàm số không có giá trị lớn nhất (GTLN) khi \( x \to \infty \).

3. Biểu thức \( C = -x^2 - 10x + 2 \):
- Đây là một hàm bậc hai với \( a = -1 \), \( b = -10 \), và \( c = 2 \).
- Đỉnh của parabol nằm tại \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot -1} = -5 \).
- Giá trị lớn nhất của \( C \) là \( C(-5) = -(-5)^2 - 10(-5) + 2 = -25 + 50 + 2 = 27 \).
- Vì hệ số \( a < 0 \), hàm số không có giá trị nhỏ nhất (GTNN) khi \( x \to -\infty \).

4. Biểu thức \( D = x - x^2 \):
- Đây là một hàm bậc hai với \( a = -1 \), \( b = 1 \), và \( c = 0 \).
- Đỉnh của parabol nằm tại \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot -1} = \frac{1}{2} \).
- Giá trị lớn nhất của \( D \) là \( D(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \).
- Vì hệ số \( a < 0 \), hàm số không có giá trị nhỏ nhất (GTNN) khi \( x \to -\infty \).

Tóm lại:
- GTNN của \( A \) là \( \frac{3}{4} \).
- GTNN của \( B \) là \( -4 \).
- GTLN của \( C \) là \( 27 \).
- GTLN của \( D \) là \( \frac{1}{4} \).