Để tìm số nguyên \( m \) sao cho \( (m^2 - 3)(m^2 - 17) < 0 \), ta cần phân tích bất phương trình này.

1. **Xác định các điểm quan trọng:**
- \( m^2 - 3 = 0 \) khi \( m^2 = 3 \) tức là \( m = \pm\sqrt{3} \).
- \( m^2 - 17 = 0 \) khi \( m^2 = 17 \) tức là \( m = \pm\sqrt{17} \).

2. **Xét các khoảng giá trị của \( m \):**
- Ta có các điểm quan trọng là \( -\sqrt{17}, -\sqrt{3}, \sqrt{3}, \sqrt{17} \).
- Các khoảng cần xét là: \( (-\infty, -\sqrt{17}) \), \( (-\sqrt{17}, -\sqrt{3}) \), \( (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \), \( (\sqrt{3}, \sqrt{17}) \), \( (\sqrt{17}, \infty) \).

3. **Xét dấu của biểu thức trong từng khoảng:**
- \( m^2 - 3 \) và \( m^2 - 17 \) đều là các hàm bậc hai mở lên, nên chúng sẽ đổi dấu tại các điểm \( \pm\sqrt{3} \) và \( \pm\sqrt{17} \).

- **Khoảng \( (-\infty, -\sqrt{17}) \):**
- \( m^2 - 3 > 0 \) (vì \( m^2 > 3 \))
- \( m^2 - 17 > 0 \) (vì \( m^2 > 17 \))
- Tích dương: \( (m^2 - 3)(m^2 - 17) > 0 \)

- **Khoảng \( (-\sqrt{17}, -\sqrt{3}) \):**
- \( m^2 - 3 > 0 \) (vì \( m^2 > 3 \))
- \( m^2 - 17 < 0 \) (vì \( m^2 < 17 \))
- Tích âm: \( (m^2 - 3)(m^2 - 17) < 0 \)

- **Khoảng \( (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \):**
- \( m^2 - 3 < 0 \) (vì \( m^2 < 3 \))
- \( m^2 - 17 < 0 \) (vì \( m^2 < 17 \))
- Tích dương: \( (m^2 - 3)(m^2 - 17) > 0 \)

- **Khoảng \( (\sqrt{3}, \sqrt{17}) \):**
- \( m^2 - 3 > 0 \) (vì \( m^2 > 3 \))
- \( m^2 - 17 < 0 \) (vì \( m^2 < 17 \))
- Tích âm: \( (m^2 - 3)(m^2 - 17) < 0 \)

- **Khoảng \( (\sqrt{17}, \infty) \):**
- \( m^2 - 3 > 0 \) (vì \( m^2 > 3 \))
- \( m^2 - 17 > 0 \) (vì \( m^2 > 17 \))
- Tích dương: \( (m^2 - 3)(m^2 - 17) > 0 \)

4. **Kết luận:**
- Bất phương trình \( (m^2 - 3)(m^2 - 17) < 0 \) thỏa mãn trong các khoảng \( (-\sqrt{17}, -\sqrt{3}) \) và \( (\sqrt{3}, \sqrt{17}) \).

5. **Tìm các giá trị nguyên của \( m \):**
- \( -\sqrt{17} \approx -4.12 \)
- \( -\sqrt{3} \approx -1.73 \)
- \( \sqrt{3} \approx 1.73 \)
- \( \sqrt{17} \approx 4.12 \)

- Các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \( (-\sqrt{17}, -\sqrt{3}) \) là: \( -4, -3, -2 \).
- Các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \( (\sqrt{3}, \sqrt{17}) \) là: \( 2, 3, 4 \).

Vậy các giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn bất phương trình \( (m^2 - 3)(m^2 - 17) < 0 \) là: \( -4, -3, -2, 2, 3, 4 \).