Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh các phần a, b và c như sau:

### a) Chứng minh tứ giác BDFE là hình bình hành

Ta cần chứng minh rằng tứ giác BDFE có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

- Vì D và F lần lượt là hình chiếu của E trên AB và AC, nên \( DE \perp AB \) và \( EF \perp AC \).
- Do đó, \( DE \parallel AC \) và \( EF \parallel AB \).

- Ta có \( AE \) là trung tuyến của tam giác vuông ABC tại A, nên \( AE = \frac{1}{2}BC \).
- Vì D và F là hình chiếu của E trên AB và AC, nên \( DE = EF \).

Vậy tứ giác BDFE có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó BDFE là hình bình hành.

### b) Chứng minh tứ giác DFEH là hình thang cân

Ta cần chứng minh rằng tứ giác DFEH có hai cạnh đối song song và hai cạnh bên bằng nhau.

- Từ phần a, ta đã có \( DE \parallel AC \) và \( EF \parallel AB \).
- Vì \( AH \perp BC \), nên \( AH \perp DE \) và \( AH \perp EF \).

- Ta có \( DE = EF \) (do D và F là hình chiếu của E trên AB và AC).

Vậy tứ giác DFEH có hai cạnh đối song song và hai cạnh bên bằng nhau, do đó DFEH là hình thang cân.

### c) Chứng minh A, N, M thẳng hàng

Ta cần chứng minh rằng ba điểm A, N, M thẳng hàng.

- Gọi \( F \) là trung điểm của \( EM \) và \( BN \).
- Vì \( F \) là trung điểm của \( EM \), nên \( M \) là điểm đối xứng của \( E \) qua \( F \).
- Vì \( F \) là trung điểm của \( BN \), nên \( N \) là điểm đối xứng của \( B \) qua \( F \).

- Do đó, \( M, F, N \) thẳng hàng.

- Vì \( A, E, F \) thẳng hàng (do \( AE \) là trung tuyến của tam giác vuông ABC tại A), và \( M, F, N \) thẳng hàng, nên \( A, N, M \) thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được ba điểm A, N, M thẳng hàng.