Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và đường phân giác.

**a) Chứng minh DB = DE:**

Xét tam giác ABD và tam giác ADE:
- Ta có \( AB = AE \) (giả thiết).
- \( \angle BAD = \angle EAD \) (vì AD là phân giác của góc BAC).

Do đó, tam giác ABD và tam giác ADE có:
- \( AB = AE \)
- \( AD = AD \) (chung)
- \( \angle BAD = \angle EAD \)

Theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có:
\[ \triangle ABD \cong \triangle ADE \]

Suy ra:
\[ DB = DE \]

**b) Chứng minh AD là trung trực của BE:**

Từ phần a, ta đã chứng minh được \( DB = DE \). Điều này có nghĩa là D là trung điểm của đoạn thẳng BE.

Xét tam giác ABD và tam giác ADE:
- \( AB = AE \) (giả thiết)
- \( AD = AD \) (chung)
- \( \angle BAD = \angle EAD \) (vì AD là phân giác của góc BAC)

Do đó, tam giác ABD và tam giác ADE là hai tam giác cân tại A. Vì vậy, đường phân giác AD cũng là đường trung trực của đoạn BE.

**c) Chứng minh DC > DB:**

Do D nằm trên đoạn BC và AD là phân giác của góc BAC, ta có:
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]

Vì \( AB < AC \) (giả thiết), nên:
\[ \frac{BD}{DC} < 1 \]
\[ BD < DC \]

Do đó, ta có:
\[ DC > DB \]

Vậy, ta đã chứng minh được các phần của bài toán.