Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = a^2 + b^2 + c^2 + ab - bc - a - 2b - 3c + 12 \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc phương pháp hoàn chỉnh bình phương.

Trước tiên, ta sẽ thử hoàn chỉnh bình phương.

Biểu thức ban đầu là:
\[ P = a^2 + b^2 + c^2 + ab - bc - a - 2b - 3c + 12 \]

Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(a\), \(b\), và \(c\) lại với nhau:
\[ P = (a^2 - a + ab) + (b^2 - 2b - bc) + (c^2 - 3c) + 12 \]

Bây giờ, ta sẽ hoàn chỉnh bình phương từng nhóm.

1. Nhóm các hạng tử liên quan đến \(a\):
\[ a^2 - a + ab = a^2 + ab - a \]
\[ = a^2 + a(b - 1) \]

2. Nhóm các hạng tử liên quan đến \(b\):
\[ b^2 - 2b - bc = b^2 - 2b - bc \]
\[ = b^2 - b(c + 2) \]

3. Nhóm các hạng tử liên quan đến \(c\):
\[ c^2 - 3c = c^2 - 3c \]

Bây giờ, ta sẽ hoàn chỉnh bình phương từng nhóm.

1. Nhóm \(a\):
\[ a^2 + a(b - 1) = \left(a + \frac{b - 1}{2}\right)^2 - \left(\frac{b - 1}{2}\right)^2 \]

2. Nhóm \(b\):
\[ b^2 - b(c + 2) = \left(b - \frac{c + 2}{2}\right)^2 - \left(\frac{c + 2}{2}\right)^2 \]

3. Nhóm \(c\):
\[ c^2 - 3c = \left(c - \frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 \]

Bây giờ, ta thay các biểu thức hoàn chỉnh bình phương vào biểu thức ban đầu:
\[ P = \left(a + \frac{b - 1}{2}\right)^2 - \left(\frac{b - 1}{2}\right)^2 + \left(b - \frac{c + 2}{2}\right)^2 - \left(\frac{c + 2}{2}\right)^2 + \left(c - \frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 12 \]

Gom các hằng số lại với nhau:
\[ P = \left(a + \frac{b - 1}{2}\right)^2 + \left(b - \frac{c + 2}{2}\right)^2 + \left(c - \frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{b - 1}{2}\right)^2 - \left(\frac{c + 2}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 12 \]

\[ P = \left(a + \frac{b - 1}{2}\right)^2 + \left(b - \frac{c + 2}{2}\right)^2 + \left(c - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{(b - 1)^2}{4} - \frac{(c + 2)^2}{4} - \frac{9}{4} + 12 \]

\[ P = \left(a + \frac{b - 1}{2}\right)^2 + \left(b - \frac{c + 2}{2}\right)^2 + \left(c - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{(b^2 - 2b + 1)}{4} - \frac{(c^2 + 4c + 4)}{4} - \frac{9}{4} + 12 \]

\[ P = \left(a + \frac{b - 1}{2}\right)^2 + \left(b - \frac{c + 2}{2}\right)^2 + \left(c - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4} + \frac{b}{2} - \frac{1}{4} - \frac{c^2}{4} - c - 1 - \frac{9}{4} + 12 \]

\[ P = \left(a + \frac{b - 1}{2}\right)^2 + \left(b - \frac{c + 2}{2}\right)^2 + \left(c - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4} - \frac{c^2}{4} - \frac{17}{4} + 12 \]

\[ P = \left(a + \frac{b - 1}{2}\right)^2 + \left(b - \frac{c + 2}{2}\right)^2 + \left(c - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4} - \frac{c^2}{4} + \frac{31}{4} \]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\), ta cần các biểu thức bình phương bằng 0:
\[ a + \frac{b - 1}{2} = 0 \]
\[ b - \frac{c + 2}{2} = 0 \]
\[ c - \frac{3}{2} = 0 \]

Giải hệ phương trình này:
\[ c = \frac{3}{2} \]
\[ b - \frac{\frac{3}{2} + 2}{2} = 0 \]
\[ b - \frac{7}{4} = 0 \]
\[ b = \frac{7}{4} \]
\[ a + \frac{\frac{7}{4} - 1}{2} = 0 \]
\[ a + \frac{3}{8} = 0 \]
\[ a = -\frac{3}{8} \]

Thay các giá trị này vào biểu thức \(P\):
\[ P = \left(-\frac{3}{8} + \frac{\frac{7}{4} - 1}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{4} - \frac{\frac{3}{2} + 2}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{\left(\frac{7}{4}\right)^2}{4} - \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{4} + \frac{31}{4} \]

\[ P = \left(-\frac{3}{8} + \frac{3}{8}\right)^2 + \left(\frac{7}{4} - \frac{7}{4}\right)^2 + 0 - \frac{49}{64} - \frac{9}{16} + \frac{31}{4} \]

\[ P = 0 + 0 - \frac{49}{64} - \frac{36}{64} + \frac{31}{4} \]

\[ P = -\frac{85}{64} + \frac{496}{64} \]

\[ P = \frac{411}{64} \]

\[ P = \frac{411}{64} = 6.421875 \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(6.421875\).