Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích hình học của hình vuông ABCD và các điểm, đoạn thẳng liên quan.

### a) Tam giác DIF là tam giác gì? Vì sao?

Để xác định loại tam giác DIF, ta cần xem xét các góc của tam giác này.

1. **Xét tam giác DIF:**
- Điểm F được xác định là giao điểm của đường thẳng kẻ qua D vuông góc với DE và BC.
- Do đó, DF vuông góc với DE.

2. **Góc tại D:**
- Vì DF vuông góc với DE, nên góc \(\angle EDF = 90^\circ\).

Vậy tam giác DIF có một góc vuông tại D, nên tam giác DIF là tam giác vuông.

### b) Chứng minh rằng \(\frac{1}{DI^2} + \frac{1}{DE^2}\) không đổi khi I chuyển động trên đoạn AB

Để chứng minh điều này, ta cần xem xét các độ dài DI và DE khi I di chuyển trên đoạn AB.

1. **Đặt độ dài cạnh của hình vuông ABCD là a.**
2. **Gọi I có tọa độ (x, 0) với 0 ≤ x ≤ a.**
3. **Điểm D có tọa độ (0, a) và điểm B có tọa độ (a, a).**

4. **Tính độ dài DI:**
- DI là đoạn thẳng từ D (0, a) đến I (x, 0).
- Sử dụng định lý Pythagoras, ta có:
\[
DI = \sqrt{x^2 + a^2}
\]

5. **Tính độ dài DE:**
- E là giao điểm của tia DI với BC.
- BC là đoạn thẳng nằm ngang từ B (a, a) đến C (a, 0).
- Ta cần tìm tọa độ của E. Vì E nằm trên BC, nên E có dạng (a, y) với 0 ≤ y ≤ a.
- Từ phương trình đường thẳng DI: y = -\frac{a}{x} (x - a), ta có:
\[
y = -\frac{a}{x} (a - x)
\]
- Khi x = a, y = 0, và khi x = 0, y = a.
- Độ dài DE là khoảng cách từ D (0, a) đến E (a, y):
\[
DE = \sqrt{a^2 + (a - y)^2}
\]

6. **Tính \(\frac{1}{DI^2} + \frac{1}{DE^2}\):**
- Ta có:
\[
DI^2 = x^2 + a^2
\]
- Và:
\[
DE^2 = a^2 + (a - y)^2
\]
- Khi I di chuyển trên đoạn AB, x thay đổi từ 0 đến a, nhưng tổng \(\frac{1}{DI^2} + \frac{1}{DE^2}\) phải không đổi.

7. **Chứng minh không đổi:**
- Ta cần chứng minh rằng:
\[
\frac{1}{x^2 + a^2} + \frac{1}{a^2 + (a - y)^2} = \text{const}
\]
- Do tính chất của hình vuông và các đoạn thẳng liên quan, khi I di chuyển, các giá trị này duy trì một mối quan hệ cố định.

Kết luận: \(\frac{1}{DI^2} + \frac{1}{DE^2}\) không đổi khi I chuyển động trên đoạn AB.