Để tính góc \( \angle aOc \) khi biết \( \angle aOb = 110^\circ \) và tia \( Oc \) nằm giữa \( Oa \) và \( Ob \), đồng thời \( 7 \angle aOc = 4 \angle bOc \), ta có thể làm theo các bước sau:

1. Đặt \( \angle aOc = x \).
2. Vì \( Oc \) nằm giữa \( Oa \) và \( Ob \), ta có:
\[
\angle aOb = \angle aOc + \angle bOc
\]
Do đó:
\[
110^\circ = x + \angle bOc
\]

3. Theo đề bài, \( 7 \angle aOc = 4 \angle bOc \), tức là:
\[
7x = 4 \angle bOc
\]
Suy ra:
\[
\angle bOc = \frac{7x}{4}
\]

4. Thay \( \angle bOc \) vào phương trình \( 110^\circ = x + \angle bOc \):
\[
110^\circ = x + \frac{7x}{4}
\]

5. Giải phương trình trên:
\[
110^\circ = x + \frac{7x}{4}
\]
\[
110^\circ = \frac{4x + 7x}{4}
\]
\[
110^\circ = \frac{11x}{4}
\]
\[
110^\circ \times 4 = 11x
\]
\[
440^\circ = 11x
\]
\[
x = \frac{440^\circ}{11}
\]
\[
x = 40^\circ
\]

Vậy, góc \( \angle aOc \) là \( 40^\circ \).