Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{a^2}{2} + b^2 + c^2 \geq a(b + c) \) với mọi \( a, b, c \), ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi đại số và bất đẳng thức cơ bản.

Bắt đầu từ bất đẳng thức cần chứng minh:
\[ \frac{a^2}{2} + b^2 + c^2 \geq a(b + c) \]

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\[ \frac{a^2}{2} + b^2 + c^2 - a(b + c) \geq 0 \]

Ta sẽ biến đổi vế trái của bất đẳng thức:
\[ \frac{a^2}{2} + b^2 + c^2 - ab - ac \]

Nhóm các hạng tử liên quan đến \(a\):
\[ \frac{a^2}{2} - ab - ac + b^2 + c^2 \]

Để dễ dàng hơn trong việc chứng minh, ta sẽ thêm và bớt \( \frac{a^2}{2} \):
\[ \frac{a^2}{2} - ab - ac + b^2 + c^2 = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} - ab - ac + b^2 + c^2 - \frac{a^2}{2} \]

Nhóm các hạng tử lại:
\[ = \frac{a^2}{2} + \left( \frac{a^2}{2} - ab - ac + b^2 + c^2 \right) \]

Ta sẽ chứng minh rằng \( \frac{a^2}{2} - ab - ac + b^2 + c^2 \geq 0 \).

Xét biểu thức \( \frac{a^2}{2} - ab - ac + b^2 + c^2 \):
\[ \frac{a^2}{2} - ab - ac + b^2 + c^2 = \frac{a^2}{2} - a(b + c) + b^2 + c^2 \]

Ta sẽ thêm và bớt \( \frac{(b+c)^2}{2} \):
\[ = \frac{a^2}{2} - a(b + c) + b^2 + c^2 = \frac{a^2}{2} - a(b + c) + \frac{(b+c)^2}{2} - \frac{(b+c)^2}{2} + b^2 + c^2 \]

Nhóm các hạng tử lại:
\[ = \frac{a^2}{2} - a(b + c) + \frac{(b+c)^2}{2} - \frac{(b+c)^2}{2} + b^2 + c^2 \]

Ta có thể thấy rằng:
\[ \frac{a^2}{2} - a(b + c) + \frac{(b+c)^2}{2} \geq 0 \]

Do đó, ta có:
\[ \frac{a^2}{2} + b^2 + c^2 \geq a(b + c) \]

Vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh.