Để giải phương trình \( \frac{1}{4} \cdot 2^x + 2 \cdot 2^x = 9 \cdot 2^6 \), ta thực hiện các bước sau:

1. Đầu tiên, ta nhận thấy rằng \( 2 \cdot 2^x \) có thể viết lại thành \( 2^{x+1} \).

2. Phương trình trở thành:
\[
\frac{1}{4} \cdot 2^x + 2^{x+1} = 9 \cdot 2^6
\]

3. Ta có thể viết lại \( \frac{1}{4} \cdot 2^x \) thành \( 2^{x-2} \):
\[
2^{x-2} + 2^{x+1} = 9 \cdot 2^6
\]

4. Để đơn giản hóa, ta đặt \( y = 2^x \). Khi đó, phương trình trở thành:
\[
\frac{y}{4} + 2y = 9 \cdot 2^6
\]

5. Ta nhân cả hai vế của phương trình với 4 để loại bỏ mẫu số:
\[
y + 8y = 9 \cdot 2^6 \cdot 4
\]

6. Ta tính \( 9 \cdot 2^6 \cdot 4 \):
\[
9 \cdot 2^6 \cdot 4 = 9 \cdot 64 \cdot 4 = 9 \cdot 256 = 2304
\]

7. Phương trình trở thành:
\[
9y = 2304
\]

8. Ta giải phương trình này để tìm \( y \):
\[
y = \frac{2304}{9} = 256
\]

9. Nhớ rằng \( y = 2^x \), ta có:
\[
2^x = 256
\]

10. Ta biết rằng \( 256 = 2^8 \), do đó:
\[
x = 8
\]

Vậy, nghiệm của phương trình là \( x = 8 \).