Cho hình thang cân ABCD với AB//CD và AB < CD. Trên cạnh DC lấy một điểm E sao cho DE = AB

Cho hình thang cân \(ABCD\) với \(AB \parallel CD\) và \(AB < CD\). Trên cạnh \(DC\) lấy một điểm \(E\) sao cho \(DE = AB\).

a) Chứng minh tam giác \(ABD\) bằng tam giác \(EBD\) và \(AD = BE\).

**Chứng minh:**

1. **Tam giác \(ABD\) và tam giác \(EBD\):**

- Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(EBD\):
- \(AB = DE\) (giả thiết).
- \(BD\) là cạnh chung.
- \(\angle ABD = \angle EBD\) (vì \(AB \parallel DE\) và \(BD\) là đường cắt ngang, nên hai góc này bằng nhau do là cặp góc so le trong).

- Do đó, tam giác \(ABD\) và tam giác \(EBD\) có:
\[
AB = DE, \quad BD = BD, \quad \angle ABD = \angle EBD
\]
- Theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có:
\[
\triangle ABD = \triangle EBD
\]

2. **Chứng minh \(AD = BE\):**

- Từ việc tam giác \(ABD\) và tam giác \(EBD\) bằng nhau, ta có:
\[
AD = BE
\]

b) Chứng minh \(DC - AB < AD + BC\).

**Chứng minh:**

- Gọi \(AB = a\), \(CD = b\), \(DE = a\), và \(EC = b - a\).

- Xét tam giác \(ADE\):
- \(AD\) là cạnh của tam giác \(ADE\).
- \(AE\) là cạnh của tam giác \(ADE\) và \(AE = AD\) (vì tam giác \(ADE\) là tam giác cân tại \(A\)).

- Xét tam giác \(BCE\):
- \(BC\) là cạnh của tam giác \(BCE\).
- \(BE = AD\) (đã chứng minh ở phần a).

- Theo bất đẳng thức tam giác, trong tam giác \(ADE\):
\[
AD + DE > AE
\]
- Vì \(DE = AB = a\), ta có:
\[
AD + a > AD
\]
- Điều này luôn đúng.

- Xét tam giác \(BCE\):
\[
BC + BE > EC
\]
- Vì \(BE = AD\) và \(EC = b - a\), ta có:
\[
BC + AD > b - a
\]

- Do đó, ta có:
\[
AD + BC > b - a
\]

- Vì \(DC = b\) và \(AB = a\), ta có:
\[
DC - AB = b - a
\]

- Vậy, ta có:
\[
DC - AB < AD + BC
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được \(DC - AB < AD + BC\).