Chứng minh nếu các số nguyên m,n nguyên tố cùng nhau thì tồn tại số tự nhiên k sao cho m^k -1 chia hết cho n

Để chứng minh rằng nếu \( m \) và \( n \) là các số nguyên tố cùng nhau thì tồn tại số tự nhiên \( k \) sao cho \( m^k - 1 \) chia hết cho \( n \), ta có thể sử dụng định lý Euler và định lý nhỏ Fermat.

### Định lý Euler:
Định lý Euler phát biểu rằng nếu \( a \) và \( n \) là các số nguyên tố cùng nhau, thì:
\[ a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n} \]
trong đó \( \phi(n) \) là hàm phi Euler, đại diện cho số các số nguyên dương nhỏ hơn \( n \) và nguyên tố cùng nhau với \( n \).

### Chứng minh:
Giả sử \( m \) và \( n \) là các số nguyên tố cùng nhau, tức là \(\gcd(m, n) = 1\).

1. **Áp dụng định lý Euler:**
Vì \( m \) và \( n \) là các số nguyên tố cùng nhau, theo định lý Euler ta có:
\[ m^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n} \]
Điều này có nghĩa là:
\[ n \mid (m^{\phi(n)} - 1) \]
Tức là \( m^{\phi(n)} - 1 \) chia hết cho \( n \).

2. **Chọn \( k = \phi(n) \):**
Từ kết quả trên, ta thấy rằng \( k = \phi(n) \) là một số tự nhiên thỏa mãn điều kiện \( m^k - 1 \) chia hết cho \( n \).

### Kết luận:
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu \( m \) và \( n \) là các số nguyên tố cùng nhau thì tồn tại số tự nhiên \( k \) (cụ thể là \( k = \phi(n) \)) sao cho \( m^k - 1 \) chia hết cho \( n \).