Để rút gọn biểu thức \(\frac{x^2}{y^2 + z^2 - x^2} + \frac{y^2}{z^2 + x^2 - y^2} + \frac{z^2}{x^2 + y^2 - z^2}\) với điều kiện \(x + y + z = 0\), ta có thể làm như sau:

1. Sử dụng điều kiện \(x + y + z = 0\) để thay thế \(z\) bằng \(-x - y\).
2. Thay \(z = -x - y\) vào biểu thức ban đầu.

Biểu thức trở thành:
\[
\frac{x^2}{y^2 + (-x - y)^2 - x^2} + \frac{y^2}{x^2 + (-x - y)^2 - y^2} + \frac{(-x - y)^2}{x^2 + y^2 - (-x - y)^2}
\]

3. Tính toán các biểu thức trong mẫu số:
\[
(-x - y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]

4. Thay vào biểu thức:
\[
\frac{x^2}{y^2 + x^2 + 2xy + y^2 - x^2} + \frac{y^2}{x^2 + x^2 + 2xy + y^2 - y^2} + \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x^2 + y^2 - (x^2 + 2xy + y^2)}
\]

5. Đơn giản hóa các mẫu số:
\[
\frac{x^2}{2y^2 + 2xy} + \frac{y^2}{2x^2 + 2xy} + \frac{x^2 + 2xy + y^2}{-2xy}
\]

6. Chia cả tử và mẫu của mỗi phân số cho 2:
\[
\frac{x^2}{2(y^2 + xy)} + \frac{y^2}{2(x^2 + xy)} + \frac{x^2 + 2xy + y^2}{-2xy}
\]

7. Đơn giản hóa biểu thức:
\[
\frac{x^2}{2(y^2 + xy)} + \frac{y^2}{2(x^2 + xy)} + \frac{x^2 + 2xy + y^2}{-2xy}
\]

8. Nhận thấy rằng các phân số có mẫu số giống nhau, ta có thể cộng các tử số lại:
\[
\frac{x^2}{2(y^2 + xy)} + \frac{y^2}{2(x^2 + xy)} - \frac{x^2 + 2xy + y^2}{2xy}
\]

9. Đơn giản hóa biểu thức cuối cùng:
\[
\frac{x^2}{2(y^2 + xy)} + \frac{y^2}{2(x^2 + xy)} - \frac{x^2 + 2xy + y^2}{2xy}
\]

10. Nhận thấy rằng các phân số có mẫu số giống nhau, ta có thể cộng các tử số lại:
\[
\frac{x^2(y^2 + xy) + y^2(x^2 + xy) - (x^2 + 2xy + y^2)}{2(y^2 + xy)(x^2 + xy)}
\]

11. Đơn giản hóa tử số:
\[
\frac{x^2y^2 + x^3y + y^2x^2 + y^3x - x^2 - 2xy - y^2}{2(y^2 + xy)(x^2 + xy)}
\]

12. Nhận thấy rằng tử số và mẫu số có thể được đơn giản hóa hơn nữa, ta có:
\[
\frac{(x^2 + y^2)(xy) + xy(x^2 + y^2) - (x^2 + y^2)}{2(y^2 + xy)(x^2 + xy)}
\]

13. Cuối cùng, ta có thể rút gọn biểu thức thành:
\[
\frac{0}{2(y^2 + xy)(x^2 + xy)} = 0
\]

Vậy biểu thức đã rút gọn là \(0\).