Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. M là trung điểm BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD

Đề bài cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, M là trung điểm BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD. Bài toán yêu cầu chứng minh một số tính chất và xác định hình dạng của tứ giác BCDE.

a) Chứng minh rằng tam giác ABD cân tại A.

b) Kẻ AH vuông góc với BC tại H, lấy điểm E thuộc đoạn thẳng AH sao cho AE = AH. Chứng minh rằng tứ giác ECBD là hình bình hành.

c) Tứ giác BCDE là hình gì và vì sao?

**Giải:**

a) Chứng minh tam giác ABD cân tại A:
- Do M là trung điểm của BC nên MA = MB = MC.
- Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD.
- Vậy ta có MA = MD.
- Do đó, tam giác AMD cân tại M.
- Xét tam giác ABD, ta có:
+ MA = MD (giả thiết)
+ MB = MC (M là trung điểm của BC)
- Suy ra tam giác ABD cân tại A.

b) Chứng minh tứ giác ECBD là hình bình hành:
- Kẻ AH vuông góc với BC tại H.
- Lấy điểm E thuộc đoạn thẳng AH sao cho AE = AH.
- Ta có AH vuông góc với BC tại H nên AH là đường cao của tam giác ABC.
- Do AE = AH, ta có tam giác AHE cân tại H.
- Xét tứ giác ECBD:
+ AE = AH (giả thiết)
+ AH vuông góc với BC tại H (giả thiết)
+ M là trung điểm của BC (giả thiết)
+ E thuộc AH (giả thiết)
- Suy ra tứ giác ECBD là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

c) Tứ giác BCDE là hình gì và vì sao?
- Tứ giác BCDE là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (đã chứng minh ở phần b).