Để giải bài toán này, ta cần tính diện tích xung quanh và diện tích phần sơn của hình lăng trụ có đáy là hình thang và các mặt bên là hình chữ nhật.

### a) Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ bằng tổng diện tích của các mặt bên.

Các mặt bên là các hình chữ nhật có kích thước như sau:
- Mặt bên 1: 6 cm x 10 cm
- Mặt bên 2: 6 cm x 8 cm
- Mặt bên 3: 6 cm x 4 cm
- Mặt bên 4: 6 cm x 5 cm

Diện tích các mặt bên:
- Diện tích mặt bên 1: \(6 \times 10 = 60 \, \text{cm}^2\)
- Diện tích mặt bên 2: \(6 \times 8 = 48 \, \text{cm}^2\)
- Diện tích mặt bên 3: \(6 \times 4 = 24 \, \text{cm}^2\)
- Diện tích mặt bên 4: \(6 \times 5 = 30 \, \text{cm}^2\)

Tổng diện tích xung quanh:
\[60 + 48 + 24 + 30 = 162 \, \text{cm}^2\]

### b) Tính diện tích phần sơn không kể phần nằm dưới đất

Diện tích phần sơn bao gồm diện tích xung quanh trừ đi diện tích mặt đáy nằm dưới đất và cộng thêm diện tích mặt đáy trên.

Diện tích mặt đáy là hình thang:
- Đáy lớn: 10 cm
- Đáy nhỏ: 8 cm
- Chiều cao: 4 cm

Diện tích hình thang:
\[ \frac{1}{2} \times (10 + 8) \times 4 = \frac{1}{2} \times 18 \times 4 = 36 \, \text{cm}^2 \]

Diện tích phần sơn:
\[ 162 + 36 = 198 \, \text{cm}^2 \]

Vậy, diện tích phần sơn không kể phần nằm dưới đất là \(198 \, \text{cm}^2\).