Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Vẽ BH vuông góc với AC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AH, BH, CD. Gọi I là trung điểm của BP và E là giao điểm của MC và NP

Để chứng minh rằng \( IE \parallel HN \), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học phẳng và các định lý liên quan đến trung điểm và đường trung bình.

1. **Xác định các điểm và tính chất liên quan:**

- Hình chữ nhật \( ABCD \) có \( AB = 2AD \).
- \( BH \) vuông góc với \( AC \).
- \( M \) là trung điểm của \( AH \).
- \( N \) là trung điểm của \( BH \).
- \( P \) là trung điểm của \( CD \).
- \( I \) là trung điểm của \( BP \).
- \( E \) là giao điểm của \( MC \) và \( NP \).

2. **Tính chất của các trung điểm:**

- Vì \( M \) là trung điểm của \( AH \), nên \( M \) chia \( AH \) thành hai đoạn bằng nhau.
- Vì \( N \) là trung điểm của \( BH \), nên \( N \) chia \( BH \) thành hai đoạn bằng nhau.
- Vì \( P \) là trung điểm của \( CD \), nên \( P \) chia \( CD \) thành hai đoạn bằng nhau.
- Vì \( I \) là trung điểm của \( BP \), nên \( I \) chia \( BP \) thành hai đoạn bằng nhau.

3. **Xét các tam giác và đường trung bình:**

- Trong tam giác \( BCD \), \( P \) là trung điểm của \( CD \) và \( I \) là trung điểm của \( BP \). Do đó, \( IP \) là đường trung bình của tam giác \( BCD \), nên \( IP \parallel BD \) và \( IP = \frac{1}{2}BD \).

4. **Xét tam giác \( BHC \):**

- \( N \) là trung điểm của \( BH \) và \( H \) là điểm vuông góc từ \( B \) lên \( AC \), nên \( H \) là chân đường cao từ \( B \) xuống \( AC \).
- \( N \) là trung điểm của \( BH \), nên \( HN \) là đường trung bình của tam giác \( BHC \), do đó \( HN \parallel BC \).

5. **Xét tam giác \( BPC \):**

- \( I \) là trung điểm của \( BP \) và \( P \) là trung điểm của \( CD \), nên \( IP \parallel BD \).

6. **Xét tam giác \( BHC \) và \( BPC \):**

- Từ các tính chất trên, ta có \( HN \parallel BC \) và \( IP \parallel BD \).
- Vì \( BD \) là đường chéo của hình chữ nhật \( ABCD \), nên \( BD \) cũng song song với \( AC \).

7. **Kết luận:**

- Từ các tính chất trên, ta có \( HN \parallel BC \) và \( IP \parallel BD \).
- Do \( E \) là giao điểm của \( MC \) và \( NP \), và \( I \) là trung điểm của \( BP \), nên \( IE \parallel HN \).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \( IE \parallel HN \).