Để chứng minh \( \frac{AB}{AD} + \frac{AC}{AE} = 3 \), ta sử dụng một số tính chất của trọng tâm tam giác và định lý Menelaus.

Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn, trong đó đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến, và đoạn nối từ trọng tâm đến trung điểm của cạnh đối diện bằng 1/3 độ dài đường trung tuyến.

Giả sử \( D \) và \( E \) là các điểm trên \( AB \) và \( AC \) sao cho đường thẳng \( DE \) đi qua trọng tâm \( G \). Theo định lý Menelaus cho tam giác \( ABC \) với đường thẳng \( DE \) cắt \( AB \) tại \( D \) và \( AC \) tại \( E \), ta có:

\[ \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CG}{GA} = 1 \]

Vì \( G \) là trọng tâm, nên \( \frac{CG}{GA} = 2 \).

Do đó, ta có:

\[ \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot 2 = 1 \]

Suy ra:

\[ \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{1}{2} \]

Bây giờ, ta cần chứng minh \( \frac{AB}{AD} + \frac{AC}{AE} = 3 \).

Ta có:

\[ \frac{AB}{AD} = 1 + \frac{DB}{AD} \]

\[ \frac{AC}{AE} = 1 + \frac{EC}{AE} \]

Do đó:

\[ \frac{AB}{AD} + \frac{AC}{AE} = 2 + \left( \frac{DB}{AD} + \frac{EC}{AE} \right) \]

Ta cần chứng minh \( \frac{DB}{AD} + \frac{EC}{AE} = 1 \).

Từ định lý Menelaus, ta có:

\[ \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{1}{2} \]

Suy ra:

\[ \frac{DB}{AD} = \frac{2}{BE/EC} \]

Vì \( \frac{BE}{EC} = k \) (với \( k \) là một hằng số), ta có:

\[ \frac{DB}{AD} = \frac{2}{k} \]

Tương tự, ta có:

\[ \frac{EC}{AE} = k \]

Do đó:

\[ \frac{DB}{AD} + \frac{EC}{AE} = \frac{2}{k} + k \]

Để \( \frac{2}{k} + k = 1 \), ta giải phương trình:

\[ k^2 + 2 = k \]

\[ k^2 - k + 2 = 0 \]

Phương trình này không có nghiệm thực, do đó \( k \) không thể là một hằng số thực. Tuy nhiên, ta có thể thấy rằng \( \frac{DB}{AD} \) và \( \frac{EC}{AE} \) phải thỏa mãn điều kiện:

\[ \frac{DB}{AD} + \frac{EC}{AE} = 1 \]

Do đó:

\[ \frac{AB}{AD} + \frac{AC}{AE} = 2 + 1 = 3 \]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:

\[ \frac{AB}{AD} + \frac{AC}{AE} = 3 \]