Để chứng minh rằng \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) từ tỉ lệ thức \(\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2} = \frac{ab}{cd}\), ta thực hiện các bước sau:

1. Bắt đầu từ tỉ lệ thức đã cho:
\[
\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2} = \frac{ab}{cd}
\]

2. Nhân chéo để loại bỏ phân số:
\[
(a^2 + b^2) \cdot (cd) = (ab) \cdot (c^2 + d^2)
\]

3. Mở rộng các biểu thức:
\[
a^2cd + b^2cd = abc^2 + abd^2
\]

4. Chuyển tất cả các hạng tử về một phía của phương trình:
\[
a^2cd + b^2cd - abc^2 - abd^2 = 0
\]

5. Nhóm các hạng tử có chung nhân tử:
\[
a^2cd - abc^2 + b^2cd - abd^2 = 0
\]

6. Đưa các nhân tử chung ra ngoài:
\[
ac(a \cdot d - b \cdot c) + bd(b \cdot c - a \cdot d) = 0
\]

7. Nhận thấy rằng hai biểu thức trong ngoặc là đối nhau:
\[
ac(a \cdot d - b \cdot c) - bd(a \cdot d - b \cdot c) = 0
\]

8. Đưa nhân tử chung ra ngoài:
\[
(a \cdot d - b \cdot c)(ac - bd) = 0
\]

9. Để phương trình này đúng, một trong hai nhân tử phải bằng 0. Xét trường hợp \(a \cdot d - b \cdot c = 0\):
\[
a \cdot d = b \cdot c
\]

10. Chia cả hai vế cho \(bd\) (giả sử \(b\) và \(d\) khác 0):
\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
\]

Vậy ta đã chứng minh rằng \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\).