Để giải phương trình \((2p - 3)(q + 1) = 21\), ta sẽ tìm các cặp số nguyên tố \(p\) và \(q\).

Đầu tiên, ta phân tích số 21 thành các cặp số nguyên dương:

- \(1 \times 21\)
- \(3 \times 7\)
- \(7 \times 3\)
- \(21 \times 1\)

Ta sẽ xem xét từng cặp này:

1. **Cặp \((1, 21)\)**:
- \(2p - 3 = 1 \Rightarrow 2p = 4 \Rightarrow p = 2\)
- \(q + 1 = 21 \Rightarrow q = 20\) (không nguyên tố)

2. **Cặp \((3, 7)\)**:
- \(2p - 3 = 3 \Rightarrow 2p = 6 \Rightarrow p = 3\)
- \(q + 1 = 7 \Rightarrow q = 6\) (không nguyên tố)

3. **Cặp \((7, 3)\)**:
- \(2p - 3 = 7 \Rightarrow 2p = 10 \Rightarrow p = 5\)
- \(q + 1 = 3 \Rightarrow q = 2\) (nguyên tố)

4. **Cặp \((21, 1)\)**:
- \(2p - 3 = 21 \Rightarrow 2p = 24 \Rightarrow p = 12\) (không nguyên tố)
- \(q + 1 = 1 \Rightarrow q = 0\) (không nguyên tố)

Từ các cặp trên, ta thấy cặp duy nhất thỏa mãn điều kiện \(p\) và \(q\) đều là số nguyên tố là:

\((p, q) = (5, 2)\)

Vậy cặp số nguyên tố \(p\) và \(q\) là \( (5, 2) \).