Để chứng minh bất đẳng thức \(\frac{a+b}{ab} > \frac{4}{a+b}\), ta bắt đầu từ điều kiện \(a^2 - 2ab + b^2 \geq 0\) (đúng với mọi \(a, b\)).

1. Ta có:
\[a^2 - 2ab + b^2 \geq 0\]

2. Điều này tương đương với:
\[(a - b)^2 \geq 0\]

3. Vì \((a - b)^2 \geq 0\) luôn đúng, ta có:
\[(a + b)^2 \geq 4ab\]

4. Chia cả hai vế cho \(ab(a + b)\), ta được:
\[\frac{(a + b)^2}{ab(a + b)} \geq \frac{4ab}{ab(a + b)}\]

5. Rút gọn, ta có:
\[\frac{a + b}{ab} \geq \frac{4}{a + b}\]

6. Vì \(a, b > 0\), nên bất đẳng thức trên có thể viết lại thành:
\[\frac{a + b}{ab} > \frac{4}{a + b}\]

Như vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức \(\frac{a + b}{ab} > \frac{4}{a + b}\).