Để giải các bài toán tìm cặp số nguyên thỏa mãn các phương trình đã cho, ta sẽ lần lượt giải từng phương trình.

1. **Phương trình: \( x^2 - x - 14 - xy - 3y = 0 \)**

Ta có:
\[ x^2 - x - 14 - xy - 3y = 0 \]
\[ x^2 - x - xy - 3y = 14 \]
\[ x(x - y - 1) - 3y = 14 \]

Ta thử các giá trị của \( y \) và tìm \( x \) sao cho \( x \) là số nguyên:

- Với \( y = 0 \):
\[ x(x - 1) = 14 \]
\[ x^2 - x - 14 = 0 \]
Giải phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 56}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2} \]
\[ x = 4 \text{ hoặc } x = -3 \]
Vậy các cặp \((x, y)\) là \((4, 0)\) và \((-3, 0)\).

- Với \( y = 1 \):
\[ x(x - 2) - 3 = 14 \]
\[ x^2 - 2x - 17 = 0 \]
Phương trình này không có nghiệm nguyên.

- Với \( y = -1 \):
\[ x(x + 2) + 3 = 14 \]
\[ x^2 + 2x - 11 = 0 \]
Phương trình này không có nghiệm nguyên.

- Với \( y = -2 \):
\[ x(x + 3) + 6 = 14 \]
\[ x^2 + 3x - 8 = 0 \]
Giải phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 32}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2} \]
\[ x = 2 \text{ hoặc } x = -5 \]
Vậy các cặp \((x, y)\) là \((2, -2)\) và \((-5, -2)\).

Vậy các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn là: \((4, 0), (-3, 0), (2, -2), (-5, -2)\).

2. **Phương trình: \( 6x + 5y + 18 = 2xy \)**

Ta có:
\[ 6x + 5y + 18 = 2xy \]
\[ 2xy - 6x - 5y = 18 \]
\[ 2x(y - 3) - 5y = 18 \]

Ta thử các giá trị của \( y \) và tìm \( x \) sao cho \( x \) là số nguyên dương:

- Với \( y = 4 \):
\[ 2x(4 - 3) - 5 \cdot 4 = 18 \]
\[ 2x - 20 = 18 \]
\[ 2x = 38 \]
\[ x = 19 \]
Vậy cặp \((x, y)\) là \((19, 4)\).

- Với \( y = 5 \):
\[ 2x(5 - 3) - 5 \cdot 5 = 18 \]
\[ 4x - 25 = 18 \]
\[ 4x = 43 \]
\[ x = 10.75 \]
Không thỏa mãn.

- Với \( y = 6 \):
\[ 2x(6 - 3) - 5 \cdot 6 = 18 \]
\[ 6x - 30 = 18 \]
\[ 6x = 48 \]
\[ x = 8 \]
Vậy cặp \((x, y)\) là \((8, 6)\).

- Với \( y = 7 \):
\[ 2x(7 - 3) - 5 \cdot 7 = 18 \]
\[ 8x - 35 = 18 \]
\[ 8x = 53 \]
\[ x = 6.625 \]
Không thỏa mãn.

Vậy các cặp số nguyên dương \((x, y)\) thỏa mãn là: \((19, 4)\) và \((8, 6)\).

3. **Phương trình: \( x^2 - (2y + 3)x - y + 1 = 0 \)**

Ta có:
\[ x^2 - (2y + 3)x - y + 1 = 0 \]

Đây là phương trình bậc hai theo \( x \). Ta giải phương trình này để tìm \( x \):

\[ x = \frac{(2y + 3) \pm \sqrt{(2y + 3)^2 + 4(y - 1)}}{2} \]
\[ x = \frac{(2y + 3) \pm \sqrt{4y^2 + 12y + 9 + 4y - 4}}{2} \]
\[ x = \frac{(2y + 3) \pm \sqrt{4y^2 + 16y + 5}}{2} \]

Để \( x \) là số nguyên, biểu thức dưới căn phải là một số chính phương. Ta thử các giá trị của \( y \):

- Với \( y = 0 \):
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \]
Không thỏa mãn.

- Với \( y = 1 \):
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{5 \pm 5}{2} \]
\[ x = 5 \text{ hoặc } x = 0 \]
Vậy các cặp \((x, y)\) là \((5, 1)\) và \((0, 1)\).

- Với \( y = -1 \):
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{1 \pm 1}{2} \]
\[ x = 1 \text{ hoặc } x = 0 \]
Vậy các cặp \((x, y)\) là \((1, -1)\) và \((0, -1)\).

- Với \( y = -2 \):
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{-1 \pm 1}{2} \]
\[ x = 0 \text{ hoặc } x = -1 \]
Vậy các cặp \((x, y)\) là \((0, -2)\) và \((-1, -2)\).

Vậy các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn là: \((5, 1), (0, 1), (1, -1), (0, -1), (0, -2), (-1, -2)\).