Cho tam giác \( ABC \) cân tại \( A \). Trên cạnh \( AB \) lấy điểm \( M \) (M nằm giữa \( A \) và \( B \)), trên tia đối của tia \( CA \) lấy điểm \( N \) sao cho \( CN = BM \). Vẽ \( MN \) cắt \( BC \) tại \( I \). Chứng minh rằng \( I \) là trung điểm \( MN \).

Để chứng minh \( I \) là trung điểm của \( MN \), ta cần chứng minh rằng \( I \) chia đoạn \( MN \) thành hai đoạn bằng nhau, tức là \( MI = IN \).

1. **Xét tam giác \( ABC \) cân tại \( A \):**
- Ta có \( AB = AC \).

2. **Xét điểm \( M \) trên cạnh \( AB \):**
- \( M \) nằm giữa \( A \) và \( B \).

3. **Xét điểm \( N \) trên tia đối của tia \( CA \):**
- \( CN = BM \).

4. **Xét tam giác \( ABM \) và tam giác \( ACN \):**
- Ta có \( AB = AC \) (do tam giác \( ABC \) cân tại \( A \)).
- \( BM = CN \) (theo giả thiết).
- Góc \( BAM \) và góc \( CAN \) là hai góc đối đỉnh nên bằng nhau.

Từ đó, ta có tam giác \( ABM \) và tam giác \( ACN \) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c). Do đó, \( AM = AN \).

5. **Xét đường thẳng \( MN \) cắt \( BC \) tại \( I \):**
- Ta cần chứng minh rằng \( I \) là trung điểm của \( MN \).

6. **Chứng minh \( I \) là trung điểm của \( MN \):**
- Do tam giác \( ABM \) và tam giác \( ACN \) bằng nhau, nên \( AM = AN \).
- Gọi \( I \) là giao điểm của \( MN \) và \( BC \).

Ta xét hai tam giác \( BMI \) và \( CNI \):
- \( BM = CN \) (theo giả thiết).
- Góc \( BMI \) và góc \( CNI \) là hai góc đối đỉnh nên bằng nhau.
- \( BI = CI \) (do \( I \) nằm trên đường trung trực của \( BC \) trong tam giác cân \( ABC \)).

Từ đó, ta có tam giác \( BMI \) và tam giác \( CNI \) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c). Do đó, \( MI = IN \).

Vậy, \( I \) là trung điểm của \( MN \).