Để chứng minh rằng \(I\) là trung điểm của \(MN\), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân và các đoạn thẳng bằng nhau. Hãy làm theo các bước sau:

1. **Vẽ hình**:
- Vẽ tam giác cân \(ABC\) với \(AB = AC\).
- Chọn điểm \(M\) trên cạnh \(AB\) sao cho \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\).
- Trên tia đối của tia \(CA\), chọn điểm \(N\) sao cho \(CN = BM\).
- Vẽ đoạn thẳng \(MN\) và kéo dài \(MN\) để cắt \(BC\) tại điểm \(I\).

2. **Chứng minh**:
- Do \(CN = BM\), ta có thể sử dụng tính chất đối xứng để chứng minh rằng \(I\) là trung điểm của \(MN\).

**Bước 1: Vẽ hình**

```
A
/ \
/ \
/ \
M-------N
/ \
B-----------C
```

**Bước 2: Chứng minh**

- Xét tam giác \(ABM\) và tam giác \(ACN\):
- \(AB = AC\) (tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)).
- \(BM = CN\) (theo giả thiết).
- \(AM\) là cạnh chung.

Do đó, tam giác \(ABM\) và tam giác \(ACN\) bằng nhau theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (SSS).

- Vì tam giác \(ABM\) và tam giác \(ACN\) bằng nhau, các góc tương ứng của chúng cũng bằng nhau. Cụ thể:
- \(\angle BAM = \angle CAN\)
- \(\angle ABM = \angle ACN\)

- Xét tam giác \(BMN\):
- \(BM = CN\) (theo giả thiết).
- \(\angle BMN = \angle CNM\) (do tam giác \(ABM\) và tam giác \(ACN\) bằng nhau).

Do đó, tam giác \(BMN\) là tam giác cân tại \(M\) và \(N\).

- Vì tam giác \(BMN\) cân tại \(M\) và \(N\), đường trung tuyến từ \(I\) (điểm cắt của \(MN\) và \(BC\)) cũng là đường trung trực của \(MN\). Do đó, \(I\) là trung điểm của \(MN\).

Vậy, \(I\) là trung điểm của \(MN\).