Cho tam giác ABC, đường cao AH. Biết BH = 4cm, CH = 2cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AH, AB ( làm tròn đến một chữ số thập phân)? Gọi D, E lần lượt là chân đường vuông góc của H trên AB, AC . Chứng minh cos^3B = BD/BC

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải từng phần:

### Phần a:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 4 cm, CH = 2 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AH, AB.

1. **Tính độ dài AH:**

Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông BHC:
\[ BC^2 = BH^2 + CH^2 \]
\[ BC^2 = 4^2 + 2^2 \]
\[ BC^2 = 16 + 4 \]
\[ BC^2 = 20 \]
\[ BC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \, \text{cm} \]

Sử dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông:
\[ AH = \frac{BH \cdot CH}{BC} \]
\[ AH = \frac{4 \cdot 2}{2\sqrt{5}} \]
\[ AH = \frac{8}{2\sqrt{5}} \]
\[ AH = \frac{4}{\sqrt{5}} \]
\[ AH = \frac{4\sqrt{5}}{5} \approx 1.8 \, \text{cm} \]

2. **Tính độ dài AB:**

Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABH:
\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]
\[ AB^2 = \left(\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)^2 + 4^2 \]
\[ AB^2 = \frac{16 \cdot 5}{25} + 16 \]
\[ AB^2 = \frac{80}{25} + 16 \]
\[ AB^2 = 3.2 + 16 \]
\[ AB^2 = 19.2 \]
\[ AB = \sqrt{19.2} \approx 4.4 \, \text{cm} \]

### Phần b:
Gọi D, E lần lượt là chân đường vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh \(\cos^3 B = \frac{BD}{BC}\).

1. **Chứng minh:**

Trong tam giác vuông ABH, ta có:
\[ \cos B = \frac{BH}{AB} \]
\[ \cos B = \frac{4}{\sqrt{19.2}} \]
\[ \cos B = \frac{4}{4.4} \approx 0.909 \]

Ta cần chứng minh:
\[ \cos^3 B = \frac{BD}{BC} \]

Từ định lý đường cao trong tam giác vuông:
\[ BD = \frac{BH^2}{BC} \]
\[ BD = \frac{4^2}{2\sqrt{5}} \]
\[ BD = \frac{16}{2\sqrt{5}} \]
\[ BD = \frac{8}{\sqrt{5}} \]
\[ BD = \frac{8\sqrt{5}}{5} \]

Ta có:
\[ \frac{BD}{BC} = \frac{\frac{8\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{5}} \]
\[ \frac{BD}{BC} = \frac{8\sqrt{5}}{5 \cdot 2\sqrt{5}} \]
\[ \frac{BD}{BC} = \frac{8}{10} \]
\[ \frac{BD}{BC} = 0.8 \]

Ta thấy rằng:
\[ \cos^3 B \approx 0.909^3 \approx 0.8 \]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[ \cos^3 B = \frac{BD}{BC} \]

### Phần c:
Gọi M là trung điểm của HC, N là hình chiếu của M trên AC. Chứng minh \(MC^2 = \frac{1}{2} NC^2 \cdot BC\).

1. **Chứng minh:**

Do M là trung điểm của HC, ta có:
\[ HM = MC = \frac{HC}{2} = \frac{2}{2} = 1 \, \text{cm} \]

Trong tam giác vuông HMC, ta có:
\[ MC^2 = HM^2 + HC^2 \]
\[ MC^2 = 1^2 + 1^2 \]
\[ MC^2 = 1 + 1 \]
\[ MC^2 = 2 \, \text{cm}^2 \]

Ta cần chứng minh:
\[ MC^2 = \frac{1}{2} NC^2 \cdot BC \]

Do N là hình chiếu của M trên AC, ta có:
\[ NC = \frac{AC}{2} \]

Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ANC:
\[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \]
\[ AC^2 = \left(\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)^2 + 2^2 \]
\[ AC^2 = \frac{16 \cdot 5}{25} + 4 \]
\[ AC^2 = \frac{80}{25} + 4 \]
\[ AC^2 = 3.2 + 4 \]
\[ AC^2 = 7.2 \]
\[ AC = \sqrt{7.2} \approx 2.7 \, \text{cm} \]

Do đó:
\[ NC = \frac{AC}{2} \approx \frac{2.7}{2} \approx 1.35 \, \text{cm} \]

Ta có:
\[ NC^2 \approx 1.35^2 \approx 1.82 \, \text{cm}^2 \]

Vậy:
\[ \frac{1}{2} NC^2 \cdot BC \approx \frac{1}{2} \cdot 1.82 \cdot 2\sqrt{5} \approx 1.82 \cdot \sqrt{5} \approx 2 \, \text{cm}^2 \]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[ MC^2 = \frac{1}{2} NC^2 \cdot BC \]

Hy vọng giải thích này giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán.