Để giải bài toán này, ta cần xác định thời gian để mỗi vòi nước chảy đầy bể. Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể là \( x \) giờ và thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể là \( y \) giờ.

1. **Tính tổng lưu lượng của hai vòi:**

Nếu hai vòi cùng chảy vào bể thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút, tức là \( \frac{4}{3} \) giờ. Do đó, tổng lưu lượng của hai vòi là:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}
\]

2. **Tính lưu lượng của từng vòi trong khoảng thời gian ngắn:**

Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút (tức là \( \frac{1}{6} \) giờ) và vòi thứ hai trong 12 phút (tức là \( \frac{1}{5} \) giờ) thì lượng nước mà hai vòi chảy vào bể là \( \frac{2}{15} \) bể. Do đó, ta có phương trình:
\[
\frac{10}{60x} + \frac{12}{60y} = \frac{2}{15}
\]
\[
\frac{1}{6x} + \frac{1}{5y} = \frac{2}{15}
\]

3. **Giải hệ phương trình:**

Từ phương trình thứ nhất:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}
\]

Từ phương trình thứ hai:
\[
\frac{1}{6x} + \frac{1}{5y} = \frac{2}{15}
\]

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 30 để đơn giản hóa:
\[
\frac{5}{x} + \frac{6}{y} = 4
\]

Ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \\
\frac{5}{x} + \frac{6}{y} = 4
\end{cases}
\]

Đặt \( \frac{1}{x} = a \) và \( \frac{1}{y} = b \), ta có:
\[
\begin{cases}
a + b = \frac{3}{4} \\
5a + 6b = 4
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
Từ phương trình thứ nhất:
\[
b = \frac{3}{4} - a
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
5a + 6\left(\frac{3}{4} - a\right) = 4
\]
\[
5a + \frac{18}{4} - 6a = 4
\]
\[
5a - 6a + \frac{9}{2} = 4
\]
\[
-a + \frac{9}{2} = 4
\]
\[
-a = 4 - \frac{9}{2}
\]
\[
-a = \frac{8}{2} - \frac{9}{2}
\]
\[
-a = -\frac{1}{2}
\]
\[
a = \frac{1}{2}
\]

Vậy \( a = \frac{1}{2} \), thay vào \( b = \frac{3}{4} - a \):
\[
b = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\]

Do đó:
\[
\frac{1}{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 2 \text{ giờ}
\]
\[
\frac{1}{y} = \frac{1}{4} \Rightarrow y = 4 \text{ giờ}
\]

Vậy thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể là 2 giờ và thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể là 4 giờ.