Để tính diện tích các tam giác ABM và ANM, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho và tính toán từng bước một.

1. **Diện tích tam giác ABM:**

- Ta biết rằng \( BM = MC \), tức là điểm M chia cạnh BC thành hai đoạn bằng nhau.
- Do đó, tam giác ABM có diện tích bằng một nửa diện tích của tam giác ABC.
- Diện tích tam giác ABC là 60 cm².

Vậy diện tích tam giác ABM là:
\[
S_{ABM} = \frac{1}{2} \times S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 60 = 30 \text{ cm}^2
\]

2. **Diện tích tam giác ANM:**

- Ta biết rằng \( BN = MN \), tức là điểm N chia cạnh BM thành hai đoạn bằng nhau.
- Do đó, tam giác ANM có diện tích bằng một nửa diện tích của tam giác ABM.
- Diện tích tam giác ABM là 30 cm².

Vậy diện tích tam giác ANM là:
\[
S_{ANM} = \frac{1}{2} \times S_{ABM} = \frac{1}{2} \times 30 = 15 \text{ cm}^2
\]

Tóm lại:
- Diện tích tam giác ABM là 30 cm².
- Diện tích tam giác ANM là 15 cm².