Giải phương trình

Để giải phương trình \(4 \cos^4 x + \sin 2x - 8 \sin x \cos^3 x + 3 \sin^3 x \cos x + \sin^4 x = 1\), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản**:
- \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)
- \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)

2. **Thay thế các biểu thức**:
- Thay \(\sin 2x\) bằng \(2 \sin x \cos x\)

Phương trình trở thành:
\[4 \cos^4 x + 2 \sin x \cos x - 8 \sin x \cos^3 x + 3 \sin^3 x \cos x + \sin^4 x = 1\]

3. **Nhóm các hạng tử**:
- Nhóm các hạng tử có chứa \(\cos x\) và \(\sin x\) để đơn giản hóa.

Phương trình trở thành:
\[4 \cos^4 x + \sin x (2 \cos x - 8 \cos^3 x + 3 \sin^2 x \cos x) + \sin^4 x = 1\]

4. **Đơn giản hóa các hạng tử**:
- Sử dụng \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) để thay thế các biểu thức \(\sin^2 x\) và \(\cos^2 x\).

Phương trình trở thành:
\[4 \cos^4 x + \sin x (2 \cos x - 8 \cos^3 x + 3 (1 - \cos^2 x) \cos x) + \sin^4 x = 1\]

5. **Tiếp tục đơn giản hóa**:
- Phân tích và nhóm các hạng tử để tìm nghiệm của phương trình.

Phương trình trở thành:
\[4 \cos^4 x + \sin x (2 \cos x - 8 \cos^3 x + 3 \cos x - 3 \cos^3 x) + \sin^4 x = 1\]

6. **Giải phương trình**:
- Thử các giá trị đặc biệt của \(x\) như \(x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\) để tìm nghiệm.

Sau khi thử các giá trị đặc biệt, ta thấy rằng \(x = 0\) là một nghiệm của phương trình:
\[4 \cos^4 0 + \sin 0 (2 \cos 0 - 8 \cos^3 0 + 3 \sin^2 0 \cos 0) + \sin^4 0 = 1\]
\[4 \cdot 1 + 0 = 1\]
\[4 = 1\]

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 0\).