Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Xác định tập A:**
Tập A là tập các giá trị của \( x \) thỏa mãn phương trình \( x^2 + x + 1 = 0 \).
Giải phương trình bậc hai này:
\[
x^2 + x + 1 = 0
\]
Ta có:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3
\]
Vì \(\Delta < 0\), phương trình vô nghiệm trong tập số thực. Do đó, tập A là rỗng:
\[
A = \emptyset
\]

2. **Xác định tập B:**
Tập B là khoảng từ 1 đến dương vô cực:
\[
B = [1, +\infty)
\]

3. **Xác định tập C:**
Tập C là khoảng từ 0 đến 4 (không bao gồm 0 và 4):
\[
C = (0, 4)
\]

4. **Xác định \( A \cup B \):**
Vì \( A \) là tập rỗng, nên:
\[
A \cup B = B = [1, +\infty)
\]

5. **Xác định \( (A \cup B) \cap C \):**
\[
(A \cup B) \cap C = [1, +\infty) \cap (0, 4) = [1, 4)
\]

6. **Xác định các phần tử là số nguyên trong \( [1, 4) \):**
Các số nguyên trong khoảng \( [1, 4) \) là: 1, 2, 3.

Vậy, tập \( (A \cup B) \cap C \) có 3 phần tử là số nguyên.