Gọi thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc một mình là \( x \) giờ. Thời gian để người thứ hai hoàn thành công việc một mình là \( x + 2 \) giờ.

Khi hai người cùng làm chung, họ hoàn thành công việc trong \( \frac{12}{5} \) giờ. Do đó, ta có phương trình:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{5}{12}
\]

Giải phương trình này:

1. Quy đồng mẫu số:

\[
\frac{x+2 + x}{x(x+2)} = \frac{5}{12}
\]

2. Đơn giản hóa:

\[
\frac{2x + 2}{x^2 + 2x} = \frac{5}{12}
\]

3. Nhân chéo để loại bỏ mẫu số:

\[
12(2x + 2) = 5(x^2 + 2x)
\]

4. Mở rộng và sắp xếp lại:

\[
24x + 24 = 5x^2 + 10x
\]

5. Chuyển tất cả các hạng tử về một phía:

\[
5x^2 - 14x - 24 = 0
\]

6. Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó \( a = 5 \), \( b = -14 \), và \( c = -24 \):

\[
x = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 480}}{10} = \frac{14 \pm \sqrt{676}}{10} = \frac{14 \pm 26}{10}
\]

Do đó, ta có hai nghiệm:

\[
x = \frac{40}{10} = 4 \quad \text{và} \quad x = \frac{-12}{10} = -1.2
\]

Vì thời gian không thể âm, nên \( x = 4 \).

Vậy thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc một mình là 4 giờ, và thời gian để người thứ hai hoàn thành công việc một mình là \( 4 + 2 = 6 \) giờ.