Để tính góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật, ta có thể sử dụng định lý Pythagore và các công thức lượng giác.

Cho hình chữ nhật có chiều dài \( a = 3 \) và chiều rộng \( b = \sqrt{3} \).

1. Tính độ dài đường chéo \( d \):
\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

2. Tính góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn (cạnh \( b \)):
Giả sử góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn là \( \theta \).

Ta có:
\[ \tan(\theta) = \frac{\text{chiều rộng}}{\text{chiều dài}} = \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Do đó:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ \]

Vậy góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật là \( 30^\circ \).

---

**Câu 5:**

a) Tính các giá trị lượng giác:
- \( \sin 55^\circ \)
- \( \cos 62^\circ \)
- \( \tan 57^\circ \)
- \( \cot 64^\circ \)

Sử dụng bảng giá trị lượng giác hoặc máy tính để tính các giá trị này.

b) Tính các biểu thức:
\[ \frac{\tan 25^\circ}{\cot 65^\circ} \]
\[ \tan 34^\circ - \cot 56^\circ \]

Sử dụng các công thức lượng giác:
\[ \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} \]
\[ \cot 65^\circ = \frac{1}{\tan 65^\circ} \]

Vì \( \tan 65^\circ = \cot 25^\circ \), ta có:
\[ \cot 65^\circ = \tan 25^\circ \]

Do đó:
\[ \frac{\tan 25^\circ}{\cot 65^\circ} = \frac{\tan 25^\circ}{\tan 25^\circ} = 1 \]

Với \( \tan 34^\circ \) và \( \cot 56^\circ \):
\[ \cot 56^\circ = \frac{1}{\tan 56^\circ} \]
Vì \( \tan 56^\circ = \cot 34^\circ \), ta có:
\[ \cot 56^\circ = \tan 34^\circ \]

Do đó:
\[ \tan 34^\circ - \cot 56^\circ = \tan 34^\circ - \tan 34^\circ = 0 \]

Vậy kết quả của các biểu thức là:
\[ \frac{\tan 25^\circ}{\cot 65^\circ} = 1 \]
\[ \tan 34^\circ - \cot 56^\circ = 0 \]